제한된 교차 번호의 그래프 그리기

Fáry의 정리에 따르면 각 모서리가 직선 선분이되도록 교차하지 않고 간단한 평면 그래프를 그릴 수 있습니다.

내 질문은 제한된 교차 숫자의 그래프에 대한 유사한 정리가 있는지 여부 입니다. 구체적으로, 우리는 교차 숫자 k를 가진 간단한 그래프를 그려서 그림에 k 교차가 있고 각 모서리가 일부 함수 f에 대해 최대 f (k) 도의 곡선이 될 수 있다고 말할 수 있습니까?

편집 : 데이비드 엡스타인 (David Eppstein)이 말한 것처럼 Fáry의 정리는 교차 번호가 k 인 그래프의 그림을 암시하여 각 모서리가 최대 k 개의 굽힘을 갖는 다각형 체인임을 쉽게 알 수 있습니다. 각 모서리를 경계 각도로 그릴 수 있는지 여전히 궁금합니다. Hsien-Chih Chang은 k가 0, 1, 2, 3이면 f (k) = 1이고, 그렇지 않으면 f (k)> 1임을 지적합니다.

그래프가 교차 수를 제한 한 경우 폴리 라인 모델에서 해당 교차 수를 사용하여 그릴 수 있습니다 (즉, 각 모서리는 다각형 체인이며, 그래프 그리기 문헌에서 경계 수 대수 곡선보다 훨씬 일반적입니다). 가장자리 당. 가장자리 당 경계 수가 제한되어있는 경우에도 더 일반적입니다. 이것을 보려면 그래프를 평탄화하고 (각 교차점을 정점으로 대체) Fáry를 적용하십시오.

이제 이것을 사용하여 실제 질문에 답하려면, 주어진 폴리 라인에 임의로 가까운 대수 곡선을 찾아서 폴리 라인 벤드 수의 함수에 의해 제한되는 정도를 찾는 것입니다. 이것도 상당히 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어 : 각 세그먼트$s_i$ 폴리 라인의 $e_i$ 편심이 높은 타원이어야합니다. $s_i$하자 $p_i$ 외부에 긍정적 인 2 차 다항식 $e_i$ 그리고 부정적인 내부 $e_i$. 전체 다항식이 형태를 갖도록하십시오$p=\epsilon-\prod_i p_i$ 어디 $\epsilon$작은 양의 실수입니다. 그런 다음 곡선의 한 구성 요소$p=0$타원의 결합 외부에 약간 위치하며 폴리 라인을 대체하는 데 사용될 수 있습니다. 그 정도는 타원 수의 두 배가되며 이는 모서리 당 교차 수에서 선형입니다.

이것을 직선 교차 번호라고합니다 $\overline{\mathsf{cr}}(G)$그래프의 모든 가능한 직선 도면 중 최소 교차 횟수입니다. $G$. 일반 교차 번호와 비교$\mathsf{cr}(G)$, 하나를 볼 수 있습니다 $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$. 그리고 당신의 질문은 본질적으로$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$ 만약 $\mathsf{cr}(G) \leq k$ 일정한 $k$.

직선 교차 번호에 대한 논문 에서 Bienstock과 Dean은

정리. 만약$k \leq 3$우리는 $\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$. 그리고$k \geq 4$그래프가 있습니다 $G_n$ 와 $\mathsf{cr}(G) = 4$ 과 $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$.

참조 번호 횡단에 대한 설문 조사 참조 리히터와 살라 자르으로합니다. 따라서 교차 숫자가 제한된 그래프에 Fáry 정리의 변형이있는 경우 다음과 같이 구속되어야합니다.$\mathsf{cr}(G) \leq 3$.

작은 예를 들어 $\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$8 개의 정점에 대한 완전한 그래프를 고려하십시오. 그것은$\mathsf{cr}(K_8) = 18$ 과 $\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$.