직육면체의 결합에 포함 된 가장 큰 큐브 찾기

3D 공간에 입방체가 많고 각각 (x, y, z)에 시작점이 있고 크기는 (Lx, Ly, Lz)입니다. 입방체의 결합에 포함 된이 3D 공간에서 가장 큰 큐브를 찾는 방법이 궁금합니다. 이를위한 효율적인 알고리즘이 있습니까?

예를 들어 다음과 같은 직육면체가있는 경우 :

• 크기가 (10,10,10) 인 (0,0,0)에서 시작하는 직육면체
• 크기가 (12,13,15) 인 (10,0,0)의 직육면체
• 크기가 (10,10,10) 인 (0,10,0)의 직육면체
• 크기가 (10,10,10) 인 (0,0,10)의 직육면체
• 크기가 (9,9,9) 인 (10,10,10)의 직육면체.

그런 다음이 입방체의 합집합에 포함 된 가장 큰 큐브는 크기가 (19,19,19) 인 (0,0,0)에서 시작하는 큐브입니다.

이 질문의 더 일반적인 버전 :

R d 에서 상자 모음이 주어지면 상자 의 합집합 내에 포함 된 가장 큰 하이퍼 큐브를 찾으십시오.$n$$\mathbb{R}^d$

자, 첫 번째 시도는 어리석은 대답입니다 ... 직사각형 상자의 각면을 통해 비행기를 가져 가십시오. 이것은 크기 의 격자를 형성합니다 . 이러한 그리드 셀이 통합 내부인지 외부인지 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 이제 각 그리드 정점에서 가능한 한 크게 만들기 위해 큐브를 정점으로 만듭니다 (이 정점을 정점으로 함). 가장 순진한 방식으로 수행하려면 정점 당 O ( n 3 log n ) 시간 이 걸리지 만 직교 범위 검색 마법을 사용하면 정점 당 log O ( 1 ) n 으로 수행 할 수 있어야합니다 . 그래서 O ( n $O(n^3)$$O(n^3 \log n)$$\log^{O(1)} n$ 이 가능해야합니다 ...$O(n^3 \log^{O(1)} n )$

두 번째 시도 : 조합을 계산하십시오. 이 경우 시간 내에 (스윕 평면에 의해 ) 수행 할 수 있습니다 . 이제 합집합의 경계에 대한 L ∞ 보로 노이 다이어그램 만 계산하면 됩니다. http://vw.stanford.edu/~vladlen/publications/vor-polyhedral.pdf 결과를 사용하면 임의의 작은 상수 ε > 0에 대해 O ( n 2 + ε ) 시간 내에 수행 할 수 있습니다 .$O( n \log n)$$L_\infty$$O(n^{2+\varepsilon})$$\varepsilon > 0$

$O(n^2)$

$R^d$$d$$<0$$>0$$1 \times 1 \times 1 \times n \times n \times n ... \times n$ 초 입방체.

$2 \times 2 \times ... \times 2$$1 \times 1 \times ... \times 1$