Minkowski 합계에 따른 폐쇄.

벡터의 두 세트의 민코프 스키 합 주어진다 $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

방금 흥미로운 문제를 들었습니다 (Dan Halperin에 기인) : 모양 주어지면 와 같은 $B$ 모양 있습니까? $A$ $A \oplus A = B$

그러나 그것은 내 질문이 아닙니다 (공개적인 문제 인 것 같습니다). 위의 문제에서 $B$ 가 볼록 세트 인 경우 Minkowski 합계를 취하면 볼록 세트가 닫히므로 솔루션 가 있음을 관찰하십시오 $A = (1/2)B$ .

도형 클래스 수정하십시오 ${\cal S}$ . 우리는 말 ${\cal S}$ 되는 폐쇄 민코프 스키의 합계에서있는 경우에 $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$ .

그래서 내 질문은 :

Minkowski 합계에서 닫히는 모양 클래스 의 좋은 특성이 ${\cal S}$ 있습니까?

cg.comp-geom

— 수레 쉬 벤 카트
소스

Jukka : 질문을 업데이트했습니다.

— Suresh Venkat

개정 2를 읽었습니다. (1)“Minkowski 합계를 취하여 볼록한 세트가 닫히는”이유가“솔루션 A = (1/2) B”가있는 이유가 아닙니다 (두 가지 사실이 모두 명확하지만). (2)“Minkowski 합계에서 닫힘”보다 더 나은 동등한 특성이 있는지 의심합니다.

— 이토 쓰요시

직접적인 의미가 없다는 것은 사실입니다. 그러나 증거는 두 볼록 세트의 합이 볼록하다는 사실을 사용합니다. "그 이후로".. "대신에"또한 .. "라고 다시 말하면됩니다.

— Suresh Venkat

볼록 세트 B에 대해 (B / 2) ⊕ (B / 2) = B를 증명할 때 두 개의 볼록 세트의 Minkowski 합계가 볼록하다는 사실을 사용하지 않는다고 생각합니다. 억제 (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊇B는 볼록성과 관련이 없습니다. 봉쇄 (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊆B는 B가 볼록하다는 사실에서 나옵니다. 볼록도 때문에 x, y∈B, (x / 2) + (y / 2) ofB B.

— 이토 쓰요시

@Yoshio : 가능합니다. 이 질문은 또한 일반 그룹에서의 '집합'작업과 관련이있을 수 있습니다.

— Suresh Venkat

격자와 선형 부분 공간은 Minkowski 합계로 닫힙니다. 그것은 그들의 정의에서 어느 정도 즉각적입니다. 격자 + 선형 부분 공간은 Minkowski 합계로 닫힙니다 (즉,이 세트의 멤버는 예를 들어 서로 거리가 1 인 평행선 세트입니다). 구멍이있는 연결된 다각형은 Minkowski 합계에서 닫힙니다. 링 (두 동심 디스크의 설정 차이점)은 Minkowski 합계 (디스크는 자연스럽게 링으로 간주 됨)로 닫힙니다. 특정 방향에 평행 한 선분 세트는 Minkowski 합계에서 닫힙니다. 으깬 감자는 Minkowski 합계로 닫혀 있지만 잘 익힌 경우에만 (또는 아마도 너무 늦었을 때) ...

또한, 동심 고리의 유한 한 결합 패밀리는 민코프 스키 합에 의해 폐쇄된다.

— 사리 엘 하 필링
소스