NP-전체에 기하학적 문제


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기하학적 문제 수가 고려 될 때 쉽게 하지만에서 NP-완료 R의 D 에 대한 D 2 (내 좋아하는 문제들 중 하나의 단위 디스크 커버를 포함).아르 자형1아르 자형2

누구든지 R 2에 대해 polytime 해결할 수있는 문제를 알고 있지만 R d에 대해 NP-complete , d 3을 알고 있습니까? 아르 자형1아르 자형2아르 자형,

더 일반적으로, 문제에 대한 NP-완료하는 존재 할 하지만 대한 풀 수 polytime R의 K - 1 곳, K 3는 ?아르 자형케이아르 자형케이1케이



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실제로는 아닙니다. "3 차원"은 유클리드 의미가 아니라 데카르트 식입니다.
Suresh Venkat

답변:


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반 공백으로 표지를 설정하십시오.

평면의 점 집합과 점 집합을 커버하는 최소 반평면 수를 계산하는 반평면 집합은 평면에서 다항식 시간으로 풀 수 있습니다. 그러나 문제는 3d에서 NP가 어렵다는 것입니다 (2d에서 점의 디스크 하위 집합으로 최소 커버를 찾는 것보다 어렵습니다). 3d에서는 반 공백과 점의 하위 집합이 주어지며 점을 덮는 최소 반 공백을 찾고 있습니다.

2d의 폴리 타임 알고리즘은 여기에 설명되어 있습니다 : http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/


나는 내가 일하고있는 문제에 얼마나 근접했는지를 감안할 때이 결과를 몰랐다는 것이 조금 당혹 스럽습니다. 2D 디스크 커버보다 어렵다고 말할 때 APX 하드라고 생각하십니까?
밥 프레이저

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2 차원 문제는 다항식입니다. 다른 하나는 NP-Hard입니다. 그러나 3D 문제가 APX 어렵다고 생각하지 않습니다. 지역 검색을 통해 PTAS가 가능하다고 믿을만한 이유는 다음과 같습니다.
Sariel Har-Peled

... 더 어려워서 디스크 문제를 3D의 반쪽 문제로 들어 올릴 수 있음을 의미했습니다.
Sariel Har

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3d 버전이 NP-complete보다 훨씬 어렵 기 때문에 요구하는 것은 아니지만 평면에서 다각형 장애물 중 두 점 사이의 최단 경로를 찾는 것은 다항식 시간입니다 (가장 간단하게 두 터미널의 가시성 그래프 구성) 다각형 정점과 적용 Dijkstra; Hershberger와 Suri, SIAM J. Comput. 1999로 인해 더 복잡한 O (n log n) 알고리즘이 있지만 3d에서 다면체 장애물 중에서 가장 짧은 경로를 찾는 것은 PSPACE-complete (Canny 및 Reif, FOCS 1987).


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평면 케이스에 대해 확신하십니까? 당신이 인용 한 알고리즘은 근본적으로 정확한 실제 산술을 요구합니다! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/…
Jeffε

어. 좋은 지적. 부동 소수점과 근사를 사용한다고 말하면 얻을 수 없습니다 .3d 문제는 근사 할 수 있기 때문입니다. 죄송합니다. 하나는 다항식이고 다른 하나는 어렵다는 "정확한 실제 산술"이라는 의미가 있다고 생각하지만 여전히 그렇습니다.
David Eppstein

6
정말 흥미 롭습니다. 제곱근 문제의 합은이 세부 사항을 제외하고 문제가 쉬운 cg의 많은 문제로 발생합니다. 그것은 사람들에게 그것이 어렵다는 것을 설득 해야하는 이러한 문제 중 하나이기 때문에 어떤면에서는 훌륭합니다. 포인터 주셔서 감사합니다.
밥 프레이저

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평면의 볼록하지 않은 다각형은 Steiner 포인트없이 O (n) 시간으로 삼각 측량 할 수 있습니다. 즉, 삼각 분할의 모든 정점이 다각형의 정점입니다. 또한 모든 삼각 분할에는 정확히 n-2 개의 삼각형이 있습니다.

그러나 Steiner 점없이 R ^ 3의 비 볼록 다면체를 삼각 측량 할 수 있는지 여부를 결정하는 것은 NP- 완료입니다. 하나의 Steiner 포인트 로 삼각 측량을하더라도 NP 경도 결과는 유지 되므로 필요한 최소 Steiner 포인트 수를 근사화하는 것도 NP- 하드입니다. [Jim Ruppert와 Raimund Seidel. 3 차원 비 볼록 다면체 삼각 분할의 어려움 이산 컴퓨팅. 기하 1992.]

주어진 다면체가 볼록한 경우 삼각 분할을 찾는 것이 쉽지만 최소 4 면체의 삼각 분할을 찾는 것은 NP-hard입니다. [아래의 알렉산더, Jesús de Loera 및 Jürgen Richter-Gebert. 볼록한 3- 폴리 토프의 작은 삼각 측량을 찾는 복잡성 . J. 알고리즘 2004.]


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포인터 주셔서 감사합니다, Jeff. 특히, 마지막으로 언급 한 결과가 흥미 롭다고 생각합니다. 평면에서 다각형을 구성하는 단순화의 수는 일정하지만 더 이상 높은 치수를 유지하지 않으며 실제로 최적화하기가 어렵다는 것은 약간 놀라운 일입니다. 이것은 내가 바라던 일종의 대답입니다.
밥 프레이저

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차원 폴리 토프에 대한 실현 가능성 문제 는 후보이다. d ≤ 일 ,이 다항식 시간 풀수 (기준이다Steinitz '정리)하지만 때 D 4 , 이는 NP-어렵다. 자세한 정보Richter-Gebert와 Ziegler (arxiv 버전도 있음)의"4- 폴리 토프의 실현 공간은 보편적"이며 Ziegler의"Polytopes Lectures on Polytopes"(두 번째 인쇄)책을 참조하십시오.dd4


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더 구체적으로는 NP-어렵다라고 말하는 것보다, 그것을위한 완벽한입니다 , 실제 숫자의 실존 적 이론.아르 자형
David Eppstein

나는 전에이 문제를 보지 못했습니다. 감사합니다.
밥 프레이저

데이비드 엡스타인의 대답과 마찬가지로 NP-complete보다 어렵습니다.
Peter Shor

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메트릭 공간을 R ^ 2에 등각 투영 할 수 있는지 여부를 결정하는 것은 쉽습니다. 그러나 R ^ 3 포함 가능성을 결정하는 것은 NP-hard입니다.

에 포함하기 , 쉽습니다에 내장 23

종이


좋은 예이기도합니다.
Suresh Venkat

-2

R2R32

케이=22케이 에서케이>2.


2SAT가 "^"R ^ 2이라는 것은 무슨 뜻입니까?
Suresh Venkat

아르 자형2

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-1 : R ^ 2에 2SAT가 어떻게 표시되는지 모르겠습니다. 2SAT가 "형상 문제"인 방법을 모르겠습니다.
Robin Kothari

기하학적 문제를 제시하지 않은 것에 대해 사과하지만 제목에 기하학적 문제에 대한 질문이 있지만 주석 내의 두 가지 질문은 기하학적 문제를 명시하지 않습니다. 또한, 2 만족도는 2 차원 매칭, 즉 P로 알려진 그래프 표현을 가지며, 여기서 3 차원 만족도는 3 차원 매칭, 즉 NP이다.
Kaushik Shankar

@Robin 나는 원래 의견에 앞서 설명했다.
Kaushik Shankar
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