NP-전체에 기하학적 문제

기하학적 문제 수가 고려 될 때 쉽게 하지만에서 NP-완료 R의 D 에 대한 D ≥ 2 (내 좋아하는 문제들 중 하나의 단위 디스크 커버를 포함).$R^1$$R^d$$d\geq2$

누구든지 과 R 2에 대해 polytime 해결할 수있는 문제를 알고 있지만 R d에 대해 NP-complete , d ≥ 3을 알고 있습니까? $R^1$$R^2$$R^d,d\geq3$

더 일반적으로, 문제에 대한 NP-완료하는 존재 할 하지만 대한 풀 수 polytime R의 K - 1 곳, K ≥ 3는 ?$R^k$$R^{k-1}$$k\geq3$

반 공백으로 표지를 설정하십시오.

평면의 점 집합과 점 집합을 커버하는 최소 반평면 수를 계산하는 반평면 집합은 평면에서 다항식 시간으로 풀 수 있습니다. 그러나 문제는 3d에서 NP가 어렵다는 것입니다 (2d에서 점의 디스크 하위 집합으로 최소 커버를 찾는 것보다 어렵습니다). 3d에서는 반 공백과 점의 하위 집합이 주어지며 점을 덮는 최소 반 공백을 찾고 있습니다.

2d의 폴리 타임 알고리즘은 여기에 설명되어 있습니다 : http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

3d 버전이 NP-complete보다 훨씬 어렵 기 때문에 요구하는 것은 아니지만 평면에서 다각형 장애물 중 두 점 사이의 최단 경로를 찾는 것은 다항식 시간입니다 (가장 간단하게 두 터미널의 가시성 그래프 구성) 다각형 정점과 적용 Dijkstra; Hershberger와 Suri, SIAM J. Comput. 1999로 인해 더 복잡한 O (n log n) 알고리즘이 있지만 3d에서 다면체 장애물 중에서 가장 짧은 경로를 찾는 것은 PSPACE-complete (Canny 및 Reif, FOCS 1987).

평면의 볼록하지 않은 다각형은 Steiner 포인트없이 O (n) 시간으로 삼각 측량 할 수 있습니다. 즉, 삼각 분할의 모든 정점이 다각형의 정점입니다. 또한 모든 삼각 분할에는 정확히 n-2 개의 삼각형이 있습니다.

그러나 Steiner 점없이 R ^ 3의 비 볼록 다면체를 삼각 측량 할 수 있는지 여부를 결정하는 것은 NP- 완료입니다. 하나의 Steiner 포인트 로 삼각 측량을하더라도 NP 경도 결과는 유지 되므로 필요한 최소 Steiner 포인트 수를 근사화하는 것도 NP- 하드입니다. [Jim Ruppert와 Raimund Seidel. 3 차원 비 볼록 다면체 삼각 분할의 어려움 이산 컴퓨팅. 기하 1992.]

주어진 다면체가 볼록한 경우 삼각 분할을 찾는 것이 쉽지만 최소 4 면체의 삼각 분할을 찾는 것은 NP-hard입니다. [아래의 알렉산더, Jesús de Loera 및 Jürgen Richter-Gebert. 볼록한 3- 폴리 토프의 작은 삼각 측량을 찾는 복잡성 . J. 알고리즘 2004.]

차원 폴리 토프에 대한 실현 가능성 문제 는 후보이다. d ≤ 일 때$d$ ,이 다항식 시간 풀수 (기준이다Steinitz '정리)하지만 때 D ≥ 4 , 이는 NP-어렵다. 자세한 정보는Richter-Gebert와 Ziegler (arxiv 버전도 있음)의"4- 폴리 토프의 실현 공간은 보편적"이며 Ziegler의"Polytopes Lectures on Polytopes"(두 번째 인쇄)책을 참조하십시오.$d \le 3$$d \ge 4$

메트릭 공간을 R ^ 2에 등각 투영 할 수 있는지 여부를 결정하는 것은 쉽습니다. 그러나 R ^ 3 포함 가능성을 결정하는 것은 NP-hard입니다.

에 포함하기 , 쉽습니다에 내장 $\ell_\infty^2$$\ell_\infty^3$

종이

$R^2$$R^3$$Z^2$$Z^3$

$k = 2$$Z^2$$Z^k$ 에서$k > 2$.