DTIME 계층 정리에서 로그 f의 정당성

DTIME 계층 정리를 살펴보면 범용 기계에 의한 결정 성있는 Turing Machine의 시뮬레이션으로 인한 오버 헤드로 인해 로그가 생겼습니다.

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

우리는 DSPACE의 NTIME에 대해 이런 종류의 오버 헤드를 갖지 않았습니다. 시뮬레이터의 차이점을 고려하여 증명의 세부 사항에서 기본 타당성을 제시합니다.

내 질문은 다음과 같습니다 .DTIME 계층 정리 증명의 세부 사항을 고려하지 않고이 로그의 정당성이 있습니까? 아니면 증거의 결과 일 수 있으며 라고 상상하는 것이 합리적입니다 $f = o(g)$그때

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

제 생각에는 시뮬레이션 설명이 좋은 정당성을 고려할 때 더 나은 결과를 얻을 수 있다면 더 나은 시뮬레이션을 만들 수 있음을 증명함으로써 정당화되어야합니다.

시간 계층 구조 정리 아마도 당신이 내 질문에 코멘트를보고 싶은, 내 졸업 프로젝트의 대상이 낮은 경계와 클래스 분리 .

이 질문과 그것이 당신이 요구하는 것과 어떻게 관련이 있는지를 되돌아 보면, 정리 증명에 필요한 다중 테이프에서 단일 테이프 TM 시뮬레이션 오버 헤드를 개선 할 수 없다는 아이디어를 얻었습니다. 따라서이 결과를 개선하려면 다른 접근 방식이 필요합니다.

편집 :이 증거가 잘못되었습니다. 정확한 이유로 아래 주석을 참조하십시오. 나는 현재 그것을 반영하기 위해 답변을 편집하고 있습니다.

$A$$\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

$O(n \log n)$

$O(n)$

$o( T(n) \log T(n) )$$T(n)$$o( n \log n)$$A$$\log T(n)$ 단일 테이프 기계로 다중 테이프 기계를 시뮬레이션 할 때 우리가 할 수있는 최선입니다.

나는 이것이 강력한 진술임을 깨달았으므로 해석에 잘못되었을 수 있습니다.

$NTIME$$SPACE$

$DTIME(n) \neq NTIME(n)$$P \neq NP$$DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$$k$따라서 매우 작은 비결정론 적 클래스는 결정 론적 클래스보다 훨씬 강력합니다. 따라서 비결정론 적 자원이 얼마나 강력한지를 감안할 때, 비결정론 적 힘을 보상하기 위해 TM을 더욱 강력하게 만들기 위해서는 더 많은 결정 론적 시간이 필요할 것으로 예상됩니다.

$\lg$

$\lg$

시간 복잡성 클래스를 정의하기 위해 단일 테이프 TM을 사용하는 데에는 몇 가지 이유와 주장이 있지만 복잡성 클래스를 정의하기 위해 단일 테이프 TM을 사용하는 것은 보편적이지 않습니다. 예를 들어 Lance Fortnow 및 Rahul Santhanam의 [2007]에서 다중 테이프를 사용하는 경우 TM.

시간 계층 정리의 원래 참조는 Hennie and Stearns [1966]입니다. 그들은 2 테이프 기계에 대한 정리를 증명합니다. Odifreddi의 Classical Recursion Theory는 그들과 Hartmanis [1968]를 인용하며 Sipser의 책과 비슷한 증거를 설명합니다.

$\Omega(n^2)$$o(n^2)$

1. $\lg$

2. 두 번째 경우, 논문은 분리를위한 언어를 직접 제공하며 시뮬레이션을 전혀 사용하지 않습니다. 이것은 2 차 실행 시간 이하의 단일 테이프 TM의 특정 속성을 사용합니다.

$o(n^2)$

위에서 말했듯이 어떤 이유로 든 단일 테이프 TM 모델에 전념하지 않는 한 시간이 2 차 이차 일 때도 채울 간격이 없으며 시간 계층 정리가 가능한 한 빡빡합니다.

추신 : 우리가 다중 테이프 TM을 사용하는 경우, 즉 클래스의 Turing 기계는 고정 할 수 있지만 임의의 수의 테이프를 가질 수 있습니다 .Fürer의 결과는 적용되지 않습니다.

1. Martin Fürer, " Tight Deterministic Time Hierarchy ", 1982 년
2. Piergiorgio Odifreddi, "고전 재귀 이론", vol. II, 1999 (84 페이지)
3. Juris Hartmanis, " 1 테이프 튜링 기계 계산의 계산 복잡성 ", 1968
4. FC Hennie와 RE , 1966 년 " 멀티 테이프 튜링 기계의 2 테이프 시뮬레이션 "
5. 랜스 포트 노우와 라훌 산타 남의 논문 " Time Hierarchies : A Survey ", 2007

$\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$$f$

$\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$$k$$k+1$$k$

$\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

사실, 우리는 이미 다음과 같은 것을 가지고 있습니다.

정리 : 모든 및 형식의 모든 ( 및 이성적; 또는 ), .$ε>0$$f$$n^a (\log n)^b$$a$$b$$a>1$$a=1∧b≥0$$\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

증명 : 결정 알고리즘이있는 모든 언어가 시간에 결정될 수 있으면 입력에 결정 알고리즘은 시간 ( 이 고정됨 으로 ) 등 모든 상수 에 대해 시간 계층 정리와 모순된다.$O(f)$$O(f / (\log f)^ε)$$O(f(n) (\log f(n))^{kε})$$O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$$k≥0$$c≥0$$\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

그러나이 비 구조적 증명에는 세 가지 제한 사항이 있습니다.
*이 증명은 가 제대로 작동해야합니다 (시간을 구성 할 수있을뿐만 아니라 특정 의미에서 연속적 임). * 우리는 있지만 에는없는 특정 언어를 알지 못합니다 . 충분히 큰 , 테이프 튜링 머신의 시뮬레이션은 에 없지만 및 조차도 배제하지 않았습니다 , 는 최소 비버 함수 인 BB가> BB (BB (1000))입니다. * 우리는 포함이 강력하다는 것을 모릅니다.$f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$$k$$k$$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$$ε=1$$f(n)=n^2$$k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ 알고리즘은 일부 입력에 대해 실패하지만 유한 입력 크기를 제외하고는 거의 모든 입력 크기에 대해 일부 입력에 대해 실패한다는 것을 증명하지 못했습니다 (매우 놀라운 일이지만) 그렇지 않은 경우).