확률 쌍 쌍 스왑에서 무작위 순열을 생성하는 가장 효율적인 방법은 무엇입니까?

내가 관심있는 질문은 무작위 순열을 생성하는 것과 관련이 있습니다. 확률 적 쌍별 스왑 게이트를 기본 빌딩 블록으로 가정하면 요소를 균일하게 무작위로 치환하는 가장 효율적인 방법은 무엇 입니까? 여기서 나는 "확률적인 쌍별 스왑 게이트"를 각각의 게이트에 대해 자유롭게 선택 될 수있는 확률 를 갖는 선택된 요소 와 사이의 스왑 게이트를 구현하는 연산으로하고 그렇지 않으면 동일성을 취한다.i j $n$$i$$j$$p$

나는 이것이 일반적으로 임의 순열을 생성하는 방식이 아니라는 것을 알고 있습니다. 보통 Fisher-Yates 셔플과 같은 것을 사용할 수는 있지만 허용 된 연산이 다르기 때문에 내가 생각한 응용 프로그램에서는 작동하지 않습니다.

분명히 이것이 가능할 것입니다, 문제는 얼마나 효율적입니다. 이 목표를 달성하기 위해 필요한 최소한의 확률 적 스왑은 무엇입니까?

최신 정보:

Anthony Leverrier는 실제로 게이트를 사용하여 정확한 분포를 생성하는 방법을 제공하며 , Ito Tsuyoshi는 주석에서 동일한 스케일링으로 다른 접근법을 제공합니다. 그러나 지금까지 내가 본 가장 낮은 하한은 이며 로 확장됩니다 . 따라서 질문은 여전히 ​​열려 있습니다. 가 수행 할 수있는 최선입니까 (즉, 더 낮은 하한선이 있습니까)? 또는 더 효율적인 회로 제품군이 있습니까?⌈ log 2 ( n ! ) ⌉ O ( n log n ) O ( n 2$O(n^2)$$\lceil \log_2(n!) \rceil$$O(n\log n)$$O(n^2)$

최신 정보:

여러 해답과 의견은 확률이 고정되어있는 확률 론적 스왑으로 구성된 회로를 제안했습니다 . 이러한 회로는 다음과 같은 이유로이 문제를 해결할 수 없습니다 (의견에서 들었습니다).$\frac{1}{2}$

개의 게이트 를 사용하는 회로를 상상해보십시오 . 그런 다음 등가 계산 경로가 있으므로 정수 k에 대해 확률 순열이 발생해야합니다 . 그러나 균일 한 분포를 위해서는 이 필요하며 으로 다시 쓸 수 있습니다 . 분명히 의 정수 값 대해서는 부터 만족할 수 없습니다( 이지만 입니다.2 m k 2 − m k 2 − m = $m$$2^m$$k 2^{−m}$$k 2^{−m}=\frac{1}{n!}$$k n! = 2^m$$k$$n\geq3$$3|n!$$n\geq 3$$3\nmid 2^m$

업데이트 (바운티를 제공하는 mjqxxxx의) :

제공되는 현상금은 (1) 게이트가 필요 하다는 증거 또는 (2) 미만의 게이트 를 사용 하는 대한 작동 회로 입니다.N N ( N - 1 ) /$\omega(n \log n)$$n$$n(n-1)/2$

위의 주석에서 설명한 작동 알고리즘은 다음과 같습니다.

• 확률로 랜덤 요소를 가져 와서 처음 시작할 위치에서 : 교환 위치 1 및 2 proba와 다음,도 2 및도 3을 proba와 ... 다음 및 proba와 .N 1 / 2 2 / 3 N - 1 N ( N - 1 ) /$1/n$$n$$1/2$$2/3$$n-1$$n$$(n-1)/n$
• 동일한 절차를 적용하여 위치 에 임의의 요소를 가져옵니다 . 위치 로 프로브 위치 1과 2를 교체 한 다음 , proba 로 위치 와 을 위치시킵니다. .1 / 2 N - 2 N - 1 ( N - 2 ) / ( N - 1 $n-1$$1/2$$n-2$$n-1$$(n-2)/(n-1)$
• 기타

이 알고리즘에 필요한 게이트 수는 입니다.$(n-1)+(n-2)+ \cdots + 2+1 = n(n-1)/2 = O(n^2)$

이것은 대답이나 새로운 정보가 아닙니다. 여기에서는이 문제와 정렬 네트워크 사이의 관계에 대한 주석에서 발생한 토론을 요약하려고합니다 . 이 게시물에서 모든 시간은 UTC이며 "설명"은 달리 명시되지 않는 한 질문에 대한 의견을 의미합니다.

확률 적 스왑 게이트 (두 개의 값을 무작위로 스왑)로 구성된 회로는 자연스럽게 정렬 네트워크를 생각 나게합니다. 실제로 현재 문제와 정렬 네트워크의 회로는 다음과 같은 방식으로 서로 관련됩니다.

• 안토니 Leverrier 의해 용액 으로 N은 ( N -1) / 2 확률 스왑 게이트는 적절한 확률과 확률 스왑 게이트로 대체 비교기와 거품 정렬을위한 정렬 네트워크로 이해 될 수있다. 자세한 내용은 3 월 10 일 4:53의 mkatkov 의견을 참조하십시오. 선택 정렬을위한 정렬 네트워크도 같은 방식으로 사용될 수 있습니다. (3 월 7 일 23:04의 의견에서 Anthony의 회로를 선택 정렬로 설명했지만 정확하지 않습니다.)
• 우리가 0이 아닌 확률로 모든 순열을 원하고 분포가 균일 한 것을 신경 쓰지 않는다면 모든 비교 네트워크가 확률 -1/2 스왑 게이트로 대체 될 때 모든 정렬 네트워크가 작동합니다. 우리가 O ( n log n ) 비교기 와 함께 정렬 네트워크를 사용하는 경우 결과 회로 는 3 월의 내 의견에서 볼 수 있듯이 적어도 1/2 ^{O ( n log n )} = 1 / poly ( n !) 확률로 모든 순열을 생성합니다 7 22:59.
• 이 문제에서는 확률 적 스왑 게이트가 독립적으로 작동해야합니다. 이 제한을 제거하면 3 월 7 일 23:08의 의견과 3 월 8 일 14:07에 자세히 설명 된 user1749의 주석에서 언급 한 것처럼 모든 정렬 네트워크를 균일 분포를 생성하는 회로로 변환 할 수 있습니다.

이러한 사실은이 문제가 네트워크 정렬과 밀접한 관련이 있음을 암시합니다. 그러나 Peter Taylor는 그 관계가 그리 가깝지 않다는 증거를 발견했습니다. 즉, 비교기를 적절한 확률을 갖는 확률 적 스왑 게이트로 대체함으로써 모든 분류 네트워크가 원하는 회로로 변환 될 수있는 것은 아니다. n = 4에 대한 5 개의 비교기 정렬 네트워크 가 이에 대한 반례입니다. 3 월 10 일 11시 8 분과 3 월 10 일 14시 1 분에 그의 의견을 참조하십시오.

이것은 완전한 대답은 아니지만 유용 할 수있는 결과를 포함하고 , 가능한 5 게이트 솔루션을 2500 개 열거하기 쉬운 경우로 제한하는 의 경우에 대한 제약을 얻기 위해 적용합니다 .$n=4$

먼저 일반적인 결과 : 객체 를 치환하는 솔루션 에는 확률이있는 스왑이 있어야 합니다.n - 1 $n$$n-1$$\frac{1}{2}$

증명 : 차수 의 순열의 순열 표현을 고려하십시오 . 이들은 행렬들 만족시키는 입니다. 확률 갖는 와 사이의 스왑을 고려하십시오 . 이것은 를 나타냅니다 (순환을 나타내는주기 표기법 사용). 표현 이론 또는 마르코프 항에서이 행렬에 의한 곱셈 을 확률 순열 을 적용하고 확률 변경하지 않는 것으로 생각할 수 있습니다 .n × n A π ( A π ) i , j = [ i = π ( j ) ] i j p ( 1 - p ) I + p A ( i j ) ( i j ) p 1 - $n$$n\times n$$A_\pi$$(A_\pi)_{i,j} = [i = \pi(j)]$$i$$j$$p$$(1-p)I + pA_{(i j)}$$(i j)$$p$$1-p$

따라서 순열 네트워크는 이러한 행렬 곱셈의 체인입니다. 우리는 행렬로 시작하고 최종 결과는 매트릭스 될 것 곳 , 그래서 우리는 순위의 매트릭스에서가는 순위의 매트릭스에 곱셈에 의해 즉, 순위가 만큼 감소합니다 .U i , j = $U$ n1n-$U_{i,j} = \frac{1}{n}$$n$$1$$n-1$

행렬 의 순위를 고려할 때 , 우리는 그것들이 본질적으로 작은 과 별 개인 정체성 행렬임을 알 수 있습니다 이므로 아니면 전체 순위를 가지며 ,이 경우 순위는 입니다.( 1 − p p p 1 − p ) p = $(1-p)I + pA_{(i j)}$$\begin{pmatrix}1-p & p \\ p & 1-p\end{pmatrix}$ n-$p=\frac{1}{2}$$n-1$

실베스터의 행렬 부등식을 적용하면 각 스왑은 인 경우에만 순위가 감소 하고이 조건이 충족되면 1 이하로 감소합니다. 따라서 적어도 스왑이 필요합니다 확률 . n-1$p=\frac{1}{2}$$n-1$$\frac{1}{2}$

Anthony Leverrier의 네트워크가이를 달성하기 때문에이 한계를 강화할 수 없습니다.

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사례 . 우리는 이미 6 개의 게이트가있는 솔루션을 가지고 있으므로 5 개의 게이트가있는 솔루션이 가능한지 여부는 의문입니다. 이제 게이트 중 3 개 이상이 50/50 스왑이어야한다는 것을 알고 있으므로 두 개의 "자유"확률 인 와 있습니다. 32 개의 가능한 이벤트 (각 2 개의 결과가있는 5 개의 독립적 인 이벤트)와 개의 이벤트가 있습니다 버킷에는 각각 하나 이상의 이벤트가 포함되어야합니다. 이벤트는 확률 으로 8 개, 확률 으로 8 개, 확률 및 확률이 입니다.p q 4 ! = 24 p $n=4$$p$$q$$4! = 24$¯ p$\frac{pq}{8}$ p ¯ $\frac{\overline{p}q}{8}$¯ p ¯ $\frac{p\overline{q}}{8}$$\frac{\overline{p}\overline{q}}{8}$

빈 버킷이없는 24 개의 버킷에 32 개의 이벤트가 있으면 적어도 16 개의 버킷에 정확히 하나의 이벤트가 포함되므로 위에서 주어진 4 가지 확률 중 2 개 이상은 . 대칭을 고려하면 또는 있습니다. pq= ¯ p q=$\frac{1}{24}$ pq= ¯ p ¯ q =$pq = \overline{p}q = \frac{1}{3}$$pq = \overline{p}\overline{q} = \frac{1}{3}$

첫 번째 경우는 , ( 보정 또는 , 대칭 해제)을 제공합니다. 두 번째 경우는 이므로 이므로 실제 솔루션은 없습니다. q=$p=\overline{p}=\frac{1}{2}$ q=$q=\frac{2}{3}$ pq=1−p−q+pqpq=p(1−p)=$q=\frac{1}{3}$$pq=1-p-q+pq$$pq = p(1-p) = \frac{1}{3}$

따라서 5- 게이트 솔루션이있는 경우 확률 게이트 4 개와 확률 또는 게이트 있습니다. 첫 번째 스왑은 이고 두 번째 스왑은 또는 . 다른 3 개는 5 개의 가능성을 가지고 있습니다. 왜냐하면 같은 스왑을 두 번 연속해서 수행 할 점이 없기 때문입니다. 따라서 우리는 스왑 시퀀스를 고려하고 10 가지의 확률을 배정하여 2500 개의 사례를 기계적으로 열거하고 테스트 할 수 있습니다.$\frac{1}{2}$$\frac{1}{3}$ 0↔10↔22↔32×5$\frac{2}{3}$$0\leftrightarrow 1$$0\leftrightarrow 2$$2\leftrightarrow 3$$2\times 5^3$

업데이트 : Yuval Filmus와 나는 사건을 열거하고 테스트했으며 해결책을 찾지 못했기 때문에 대한 최적의 솔루션 은 6 게이트를 포함하며 6 게이트 솔루션의 예는 다른 답변에서 찾을 수 있습니다.$n=4$

다음은 새롭고 관련된 정보 인 것 같습니다.

논문 [CKKL99]는 깊이 O (log n)의 스위칭 네트워크를 사용하여 총 n (n log n) 비교기를 사용하여 n 요소의 균일 한 순열에 1 / n을 얻는 방법을 보여줍니다.

이 구성은 명시 적이 지 않지만 수심을 polylog (n)으로 늘리면 명시적일 수 있습니다. 자세한 내용이 포함 된 용지 [CKKL01]의 포인터를 참조하십시오.

이전 의견은 이미 O (n log n) 스위치가 충분하다는 결과를 지적했지만, 네트워크를 전환 할 때 비교되는 요소가 고정되어 있다는 차이점이 있습니다.

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[CKKL99] Artur Czumaj, Przemyslawa Kanarek, Miroslaw Kutylowski 및 Krzysztof Lorys. 분산 된 확률 적 프로세스를 통한 지연된 경로 커플 링 및 임의 순열 생성. 불연속 알고리즘 심포지엄 (SODA), 271 페이지 {280, 1999.

[CKKL01] Artur Czumaj, Przemyslawa Kanarek, Miroslaw Kutylowski 및 Krzysztof Lorys. 랜덤 순열을 생성하기위한 스위칭 네트워크, 2001.

다음은 대한 흥미로운 솔루션입니다 . 동일한 아이디어가 에도 적용됩니다 .n = $n=4$$n=6$

확률 스위치 부터 시작하십시오 . 을 , 을 줄이면 상황에 있습니다. 확률 스위치 를 적용하십시오 . 결과는 다음 움직임은 확률이 입니다 . 따라서 이전 단계의 결과가 (사례 A) 또는 형식 인 경우에만 관심이 있습니다.$(0,1),(2,3)$$1/2$$0,1$$X$$2,3$$Y$$XXYY$$(0,3),(1,2)$$p$

$$\begin{align*} XXYY &\text{ w.p. } (1-p)^2, \\ YYXX &\text{ w.p. } p^2, \\ XYXY &\text{ w.p. } p(1-p), \\ YXYX &\text{ w.p. } p(1-p) \end{align*}$$ $(0,2),(1,3)$$1/2$$XXYY/YYXX$$XYXY/YXYX$ (케이스 B). A의 경우 이러한 스위치는 보다 균일 한 확률로 . B의 경우에는 효과가 없습니다. 그러므로 는 충족해야합니다 주어진 결과는 균일합니다.$XXYY/XYYX/YXXY/YYXX$$p$ $$p(1-p) = 1/6 \Longrightarrow p = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}.$$

에서도 비슷한 아이디어가 적용됩니다. 먼저 각 반을 무작위로 정렬 한 다음 "병합"합니다. 그러나 인 경우에도 반쪽을 올바르게 병합하는 방법을 볼 수 없습니다.$n=6$$n=8$

이 솔루션의 흥미로운 점은 이상한 확률 입니다.$p$

참고로, 아마도 우리를 도울 수있는 확률 는 로 주어집니다 . 여기서 은 모든 조옮김에서 의 모든 표현의 모든 고유 값을 넘습니다 .$p$$1/(1-\lambda)$$\lambda \leq 0$$S_n$

확률 적으로 쌍별 스왑으로 구성된 회로를 사용하여 각 블록의 길이가 인 문자열 를 무작위로 문제를 고려하십시오 . 즉, s 및 s가있는 모든 문자열 은 지정된 입력이 주어지면 회로의 출력이 동일해야합니다. 하자 이 문제에 대한 최적의 회로, 그리고하자 원래의 문제 (랜덤 셔플 링을위한 최적의 회로 일 요소). 랜덤 순열을 적용하면 및 를 무작위로 인터리빙하기에 충분 하므로$XX..XY..YY$$n$$(2n)!/(n!)^2$$n$ $X$$n$ $Y$$B_{2n}$$C_{2n}$$2n$$X$$Y$$\lvert{B_{2n}}\rvert \le \lvert{C_{2n}}\rvert$ . 반면에 , 첫 요소를 섞고 마지막 요소를 마지막으로 회로 적용하여 요소를 섞을 수 있습니다 . 이는 입니다. 이 두 가지 경계를 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.$2n$$n$$n$$B_{2n}$$\lvert{C_{2n}}\rvert \le 2\lvert{C_{n}}\rvert + \lvert{B_{2n}}\rvert$

• | C 2 N | o ( n 2$\lvert{B_{2n}}\rvert$ 및 는 모두 이거나 둘 다 아닙니다.$\lvert{C_{2n}}\rvert$$o(n^2)$

우리는이 점에서 적어도 두 가지 문제가 똑같이 어렵다는 것을 알았습니다. 셔플 문제가 더 쉬울 것으로 예상 할 수 있기 때문에이 결과는 다소 놀랍습니다 . 특히, 엔트로피 인수는 가 이지만 가 .| B 2 N | Ω ( n ) | C 2 N | Ω는 ( N 로그 없음을 $XY$$\lvert{B_{2n}}\rvert$$\Omega(n)$$\lvert{C_{2n}}\rvert$$\Omega(n \log n)$

Diaconis and Shahshahani 1981, "임의의 전치로 난수 순열 생성하기"는 1/2 n log n의 임의 전치 (주 : 여기에 "O"가 없음)로 인해 순열이 균일하게 가깝습니다 (총 변동 거리). 응용 프로그램에서 허용 된 것이이 결과를 사용할 수 있는지 확실하지 않지만 컷오프 현상의 예이므로 매우 빠르며 타이트합니다. 비슷한 결과에 대한 조사는 Saloff-Coste의 유한 그룹의 랜덤 워크를 참조하십시오.

이것은 실제로 주석이지만 주석으로 게시하기에는 너무 깁니다. 대칭 그룹 의 표현 이론이 더 나은 하한을 증명하는 데 유용 할 수 있다고 생각합니다. 나는 표현 이론에 대해 거의 아무것도 알지 못하고 막을 내릴지도 모르지만 그것이 왜 현재 문제와 관련이 있는지 설명해 드리겠습니다.

확률 적 스왑 게이트로 구성된 회로의 동작은 n 개의 요소 에 대한 순열 그룹 인 S _n에 대한 확률 분포 p 로 완전히 지정할 수 있습니다 . 순열 g ∈S _n 은 i 번째 출력이 모든 i … {1,…, n }에 대해 g ( i ) 번째 입력 인 이벤트로 생각할 수 있습니다 . 이제 확률 분포 p 를 공식 합계 ∑ _{g ∈S n} p ( g ) g로 나타 냅니다. 예를 들어, 와이어 i 와확률 p를 갖는 j 는 (1- p ) e + p τ _ij 로 표현되며 , 여기서 e ∈S _n 은 항등 요소이고 τ _ij ∈S _n 은 i 와 j 사이의 전이 입니다.

이 공식적인 합에 대한 흥미로운 사실은 두 개의 독립적 인 회로의 연결 동작이 공식적인 합의 곱으로 공식적으로 설명 될 수 있다는 것입니다. 즉, 회로 C ₁ 및 C ₂ 의 동작이 각각 공식 합 a ₁ = ∑ _{g ∈S n} p ₁ ( g ) g 및 a ₂ = ∑ _{g ∈S n} p ₂ ( g ) g으로 표시 되면, 회로 C ₁ 의 동작, 이어서 C ₂는 ∑ _{g 1 , g 2 ∈S n} p ₁ ( g ₁ ) p ₂ ( g ₂ ) g ₁ g ₂ = a ₁ a _{2로 표시} 됩니다.

따라서, 소망 회로 m 확률 스왑 정확하게 합 작성하는 방법에 대응한다 (1 / N을 !) Σ _{g ∈S N 개의} g 의 생성물로서 m의 형태 (1이며, 각각의 합계 (P) ) E + p τ _ij . 우리는 최소 m 개의 요소 를 알고 싶습니다 .

공식적인 합 ∑ _{g ∈S n} f ( g ) g , 여기서 f 는 자연적으로 정의 된 덧셈과 곱셈을 갖춘 _Sn 에서 ℂ 까지의 함수 이며, 대수학 ℂ [S _n ] 이라는 고리를 형성합니다 . 그룹 대수학은 그룹의 표현 이론과 밀접한 관련이 있으며, 우리 모두가 알고 두려워하는 깊은 이론입니다. 이것은 표현 이론의 어떤 것이 현재의 문제에 적용될 수 있다고 생각합니다.

또는 아마도 이것이 방금 가져온 것입니다.

Anthony의 알고리즘은 처음 두 번의 확률 적 스왑 후 다음 프로 시저 반복을 시작하여 병렬로 실행될 수 있으므로 런타임이 발생합니다.$O(n^2)$$O(n)$

올바르게 이해하면 회로에서 모든 순열을 생성하려면 최소 확률 적 게이트가 필요하지만 최소 회로를 구성하는 방법을 잘 모르겠습니다.$\lceil \log_2(n!) \rceil$

최신 정보:

Mergesort 알고리즘을 사용하고 모든 비교를 임의의 선택으로 적절한 확률로 바꾸면 원하는 회로를 얻을 수 있다고 생각합니다.

다음 답변은 잘못되었지만 (@joe fitzsimon의 의견 참조) 시작점으로 유용 할 수 있습니다

스케치 제안이 있습니다. 나는 그것이 (!) 작동하는지 직접 확인 했지만 결과가 이상으로 균일하다는 증거는 없습니다 .$O(n\log n)$$n=4$$n=4$

비트 에서 균일 한 랜덤 순열을 생성 하는 회로 이 있다고 가정하십시오 . 레 비트 스왑 확률 스왑 게이트 및 확률 1/2과 확률 아무것도하지 않는다 . 비트에 작용 하는 다음 회로 .$C_n$$n$$S_{i,j}^{\frac 12}$$i$$j$$1/2$$C_{2n}$$2n$

1. $\forall 1\le k\le n$ , 게이트 ;$S_{k,k+n}^{1/2}$
2. 처음 비트 에 을 적용하십시오 .$C_n$$n$
3. 마지막 비트 에 을 적용하십시오 .$C_n$$n$
4. $\forall 1\le k\le n$ , 게이트 .$S_{k,k+n}^{1/2}$

비트 과 이 순열의 동일한 절반에 도달 할 수 있도록 단계가 필요합니다. 대칭에 의해 4 단계가 필요합니다. 이 솔루션이면 게이트를 역순으로 적용하여 얻은 솔루션도 솔루션입니다.$1$$n+1$$C_{2n}$$C_{2n}^-1$

이 회로 제품군의 크기는 다음과 같은 재귀 관계를 . , 분명히 입니다. 그런 다음 을 쉽게 볼 수 있습니다 .

$$|C_{2n}| = 2|C_n|+2n$$ $|C_1|=0$$|C_n|=n\log n$

그렇다면 분명한 질문이 남아 있습니다. 이러한 회로는 균일 한 순열을 수행합니까? 아니요, 아래 첫 번째 의견 참조