지정된 경계 상자 내에서 임의의 자기 회피 격자 사이클

Slither Link 퍼즐 과 관련하여 궁금한 점이 있습니다 정사각형 셀 그리드가 있고 가능한 모든 간단한 사이클 중에서 무작위로 균일 한 그리드 에지 사이클을 찾고 싶습니다.$n\times n$

이를 수행하는 한 가지 방법은 상태가 단순한주기 인 정사각형의 정사각형 세트이고 변형 된 정사각형의 정사각형이 여전히 단순한주기를 가질 때 플립을 유지하기 위해 임의의 정사각형을 선택하고 전환으로 구성된 Markov 체인을 사용하는 것입니다. 경계. 이런 방식으로 간단한 사이클에서 다른 사이클로 갈 수 있습니다 (쉘의 존재에 대한 표준 결과 사용). 이것은 결국 균일 한 분포로 수렴하지만 얼마나 빨리?

또는 더 나은 Markov 체인 또는 간단한 사이클을 선택하는 직접적인 방법이 있습니까?

ETA : 내가 찾고있는 사이클 수를 계산하는 코드 와이 숫자 중 일부에 대한 OEIS에 대한 포인터는 이 블로그 게시물 을 참조하십시오 . 아시다시피, 카운팅은 랜덤 생성과 거의 동일하며,이 수의 인수 분해에 명백한 패턴이없고 OEIS 항목에 공식이 부족하여 알려진 간단한 직접 방법이 없을 것입니다. . 그러나 여전히 체인이 얼마나 빨리 수렴하고 더 나은 체인이 열려 있는지에 대한 질문이 남아 있습니다.

그래프에서주기 수에 대한 카운트 만 사용하여주기를 무작위로 선택하기 때문에이 숫자에 대한 임의의 근사값이있는 경우주기를 대략 균일하게 선택할 수 있습니다.

그래프상의 사이클 수가 유의 에지를 포함 ( 유 , V ) 에서 사이클의 수와 동일 G가 - ( U , V ) 플러스로부터 간단한 경로 수 U 로 V 에 G - ( U , V ) . 따라서, u - v 경로 의 수에 대한 다항식 시간 근사치로 다항식 시간 근사값은 한 번에 최대 하나의 G 에지 를 점진적으로 빌드함으로써 달성 할 수 있으며 , 대략적으로 갈수록 가까워집니다. $G$$(u, v)$$G - (u, v)$$u$$v$$G - (u, v)$$u$$v$$G$

실제로 사이클을 선택하는 더 간단한 방법이 있다고 생각합니다. n x n 제곱 격자 주변의 전체 모서리 그래프라고 하자 . 각각의 에지 ( u는 , V ) 이 에지를 포함하는 사이클 수 (존재의 개수 U - 브이 에서 경로 G가 - ( U , V ) ). 그런 다음 포함 된 사이클 수에 따라 가중치를 적용한 에지를 임의로 선택하십시오. 이것은 무작위로 선택한 사이클의 첫 번째 가장자리입니다. 다른 모든 모서리는 한 번에 하나의 모서리를 확장하여 선택됩니다.$G$$n \times n$$(u, v)$$u$$v$$G$$(u, v)$

임의주기의 일부인 경로를 선택했다고 가정하십시오. 이 경로에 정점의 집합하자 하고하자 V 들 과 V 전자 경로의 endvertices합니다. 또한 N 은 C에 있지 않은 v e 의 이웃 집합으로 하자 (이 특정 그래프에는 최대 3 개만 있음). 각 유 ∈ N은 수 카운트 U를 - V 의 경로 유도 그래프 G [ V - ( C - { V (S) , 브이 $C$$v_s$$v_e$$N$$v_e$$C$$u \in N$$u$$v_s$ . 그런 다음 이웃, 선택 U 의, V의 전자 단지 계산 경로에 가중치를. 선택한 경로에모서리 ( v e , u ) 를추가하고1을 확장합니다.$G[V - (C - \{v_s, v_e \} ) ]$$u$$v_e$$(v_e, u)$

이러한 방식으로, 다항식 수의 에지가 선택되며, 각각은 다항식 시간 근사 알고리즘의 적은 수의 계산을 필요로한다. 따라서, 사이클을 균일하게 선택할 수있다.

현재 빠른 경로 수 근사 알고리즘에 대한 참조를 요청 하는 stackexchange 질문이 있습니다. 이 알고리즘이 존재하지만 아직 찾지 못한 곳을 몇 곳에서 읽었습니다.