최소 경로 덮음 문제

우리는 분산 컴퓨터에서 일하고 있으며 복잡한 경로 문제를 해결하여 최소한의 경로를 다루는 문제를 줄였습니다. 현재 해결 방법을 모릅니다. 문제는 다음과 같습니다.

하자 어떤 정수 및하자 그래프 함유 수 $k$ $Z_k$ 정점 개 각 정점에되도록커플레이블을 지정합니다. 이후에는 레이블을 사용하여 정점의 이름을 지정합니다. 의 모서리 세트는다음과 같이 정의됩니다. 입니다. $\frac{k(k+1)}{2}$ $(i,j)$ $1 \leq i \leq j \leq k$ $Z_k$ $\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

의 최소 경로 피복은 무엇입니까 ? $Z_k$

Ntafos et al.의 "그래프 및 프로그램 테스트 프로그램의 경로 커버 문제"읽기 , 우리는 최소 경로 피복이 비교할 수없는 가장 큰 정점 세트의 기본과 동일하다는 것을 알았습니다. 우리는 다음 세트에 대해 생각했다 : 의 기수 갖는 $S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$ . $\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

진정으로,

피에르

graph-theory co.combinatorics application-of-theory

— 피에르
소스

j^{'} \geq j

$j' \ge j$

j^{'} \geq i

$j' \ge i$

Z_{k}

$Z_k$

그래프가 전 이적으로 닫힌 DAG 인 것 같습니다. 만약 그렇다면 (그리고 아마도 Ntafos et al.의 인용에서 말한 것을 다시 말했을 것입니다.) DAG를 덮는 데 필요한 최소 경로 수는 쌍으로 비교할 수없는 최대 요소 수입니다. 이것이 딜 워스의 정리 입니다.

이 예제는 비교할 수없는 최대 세트를 직접 식별 할 수있을 정도로 간단 할 수 있지만 일반적으로 그래프 일치 기반 알고리즘에 의해 다항식 시간으로이 세트를 찾을 수 있습니다. 딜 워스의 정리에 관한 Wikipedia 기사의 "König의 정리를 통한 증명"섹션에서 그 방법을 설명합니다.

— 데이비드 엡스타인
소스