번호 분할의 특별한 경우의 NP 경도

다음 문제를 고려하십시오.

• 자 세트 양수 있는 상수, 우리로 세트 분할 할 크기의 서브 세트 되도록 각각의 합계의 생성물 부분 집합이 최대화됩니다.$n = k m$$\{ a_1, \dots, a_n \}$$k \ge 3$$m$$k$

이 문제는 각 파티션의 수에 제한이 있다는 점을 제외하고 잘 알려진 way 숫자 분할 과 매우 유사 합니다. 들면 다음의 간단한 다항식 알고리즘이 제안 될 수 있으며,$m$$k = 2$

• 숫자가 정렬되어 있다고 가정합니다 (예 : . 그런 다음 경우 서브 세트 를 할당 하고 경우 서브 세트 할당합니다 .$a_1<a_2<...<a_n$$i≤m$$a_i$$i$$i>m$$n−i+1$

알고리즘이 왜 작동하는지 알기가 어렵지 않습니다. 두 개의 임의 출력 함을 선택하십시오. 숫자를 바꾸더라도 제품의 양이 증가하지는 않습니다.

그러나 더 큰 의 경우 문제를 다항식 시간에 해결할 수 있는지 궁금합니다. 누군가가 그것이 np-hardness임을 보여줄 수 있다면 감사 할 것입니다.$k$

참고 : 무선 네트워크에서 일정 문제를 해결하는 동안 문제가 발생했습니다. 문제를 해결하기 위해 좋은 휴리스틱 알고리즘을 찾았습니다. 그러나 잠시 후 나는 문제가 이론적으로 흥미로울 것이라고 생각했다.

(이것은 질문에 대한 나의 의견의 좀 더 자세한 버전입니다.)

turkistany 질문에 단 댓글에서 제안한 것처럼,이 문제는 모든 일정에 대한 NP-어렵다 K 로부터의 감소에 의해 ≥3 케이 -partition 문제. 감소는 전혀 인스턴스를 변경하지 않는다 : 단지 참고 합계의 곱의 최대 적어도 있음 (Σ _I / K ) ^m 경우와 번호들로 분할 될 수있는 경우에만 m 된 세트 크기를 가진 각각의 K 그 합이다 모두 동일합니다.

k- 파티션 문제에 대한 입력 은 일반적으로 킬로미터 숫자로 정의되며 모두 고유하지 않을 수도 있습니다. 이는 NP- 완전도의 표준 증거 (예 : Garey 및 Johnson의 경우 )에 필수적입니다 . 따라서, 위의 축소는 입력이 세트 대신 다중 세트가 될 수있는 현재 문제의 약간 일반화의 NP- 경도만을 증명합니다. 그러나 입력의 숫자가 모두 고유해야하는 경우에도 k- 파티션 문제가 NP- 완료 상태로 유지되므로이 차이를 채울 수 있습니다 . k = 3 의 경우 [HWW08] 참조 ( Serge Gaspers의 답변 참조)k의 더 큰 값을 위해 쉽게 수정할 수있는 다른 질문으로) .

또한 여기에 언급 된 모든 내용은 입력의 숫자가 단항으로 제공 되더라도 NP-complete / NP-hard로 유지됩니다.

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger. 학위 시퀀스의 다중 그래프 구현 : 최대화가 쉽고 최소화가 어렵습니다. 운영 연구 서한 , 36 (5) : 594–596, 2008 년 9 월. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004