상한 및 하한의 "올바른"정의는 무엇입니까?

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하자 $f(n)$ 이 될 크기의 입력에 문제시 실행되는 최악의 경우 $n$ . 우리는이 문제 고정함으로써 조금 이상한합시다 $f(n) = n^2$ 에 대한 $n=2k$ 이지만 $f(n) = n$ 에 대한 $n=2k+1$ .

그렇다면 문제의 하한은 무엇입니까? 내가 이해 한 방식은 하한입니다 $f(n)$ . 그러나 우리는 $f(n) = \Omega(n^2)$ 가 상수 $k$ , 이 존재 $n_0$ 하여 모든 $n > n_0$ , 가 존재 함을 의미하며 $f(n) > kn^2$ , 이는 사실이 아닙니다. 따라서 우리는 오직 이라고 말할 수있는 것 같습니다 $f(n) = \Omega(n)$ . 그러나 일반적으로 문제의 하한이 $\Omega(n^2)$ .
라고 가정 $g(n) = \Omega(n^2)$ , 정수가 있는지 수단 $k$ , $n_0$ 이되도록 모든 $n > n_0$ , $g(n) > kn^2$ . 또한 문제가 실행 시간 이라고 가정하자 $g(n)$ . 우리는 모든 소수를 위해이 문제를 줄일 수있는 경우 $n$ (동일한 입력 크기) 또 다른 문제로, 우리는 다른 문제의 실행 시간이 낮기의 결합 말할 수 $\Omega(n^2)$ ?

cc.complexity-theory time-complexity

— 웨이 유
소스

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이것이 수학자들이 림 수프와 림 정보를 사용하는 이유입니다.

— Peter Shor

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그래서 나는 그 차이점을 이해한다고 생각합니다. 저는 포스트 사람들이 오메가를 무한정 자주 이해한다고 생각합니다. 그러나 명시 적으로 구별하고 싶을 때 확장 이외의 다른 표기법이 있습니까?

— 웨이 유

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lim sup \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\limsup \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

k

$k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

lim inf \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\liminf \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

n

$n$

$\$

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@Wei : 대부분의 복잡한 이론가에게 (아래 Lance 참조), 함수는 θ (n ^ 2)입니다. 대부분의 알고리즘 (Knuth 또는 CLRS 참조)에게 함수는 Ο (n ^ 2) 및 Ω (n)입니다. 두 표기법은 하위 커뮤니티에서 거의 표준이지만 완전히 표준은 아닙니다. 상황을 악화시키기 위해이 두 하위 커뮤니티는 크게 겹칩니다! 따라서 어떤 표기법을 사용하는지 중요하다면 어떤 표기법을 사용하고 있는지 명시 해야합니다 . (다행히도 거의 문제가되지 않습니다.)

— Jeffε

2

@ 제프. 귀하의 의견을 답변으로 게시해야한다고 생각합니다.

— chazisop

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의 올바른 정의는 이 존재 하여 무한히 많은 , 입니다. 하한에 대한 무한 정의는 문제를 처리하고 실제로 사용하는 방식입니다. $f(n)=\Omega(n^2)$ $k>0$ $n$ $f(n)\geq kn^2$

나는 2005 년에이 글 을 올렸습니다.

일부 교과서는이 정의를 올바르게 얻지 만 일부는 그렇지 않습니다.

— 랜스 포트 노우
소스

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Knuth는 귀하의 의견에 동의하지 않습니다 : portal.acm.org/citation.cfm?id=1008329

— Jeffε

4

CLRS와 Wikipedia도 동의하지 않습니다. 종종 정의는 주목할만한 대안이지만 덜 널리 사용되는 것 같습니다.

— Anonymous

예외의 설정이 측정 0 일 때 나는이 정의가 모두 동의 생각

— 카터 Tazio Schonwald

2

"무한 빈도"정의의 문제점은 일반적으로 "무한도 자주"를 배제하지 않는다는 것입니다. 따라서 우리는이 정의

뿐만 아니라

이라는 끔찍한 결과를

. 여기서

과

는 어떤 의미에서 엄격한 순서입니다. 나는 이것을 정말로 싫어한다. 적어도 @Carter의 측정 0 예외 제안은 약간 덜 끔찍하지만 여전히 평소보다 더 나은 순서를 허용합니다.

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n)=\Omega(n^2)$

f (n) = o (n + 1)

$f(n)=o(n+1)$

Ω

$\Omega$

o

$o$

— 안드라 살 라몬

2

@Jukka : 아니, 난 잘못 사용하고있어

여기에. 힌트 로

대신

를 사용하도록 내 인수를 수정해야합니다 . 따라서

또는

를 사용하지 않고 실제 이의 제기를 다시 설명하겠습니다 . "무한 종종"로, 하나 이상 갖는 것을

,

, 또

. 따라서

은 사전 주문조차하지 않습니다.

o

$o$

O

$O$

o

$o$

o

$o$

O

$O$

n = Ω (f (n))

$n = \Omega(f(n))$

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n) = \Omega(n^2)$

n \neq Ω (n^{2})

$n \ne \Omega(n^2)$

Ω

$\Omega$

— András Salamon

4

로 크 누스 의 정의 만 주장 할 수 . 알다시피, 이것은 직관적이지 않으며 Vitányi 및 Meertens 함수 "wild"에 대해 발생합니다 . 그들은 정의를 제안합니다 $f(n)\in\Omega(n)$

Ω (f (n)) = {g ∣ \exists δ > 0 : \forall n_{0} > 0 : \exists n > n_{0} : g (n) \geq δ f (n)} .

$\Omega(f(n))=\{ g \mid \exists \delta>0:\forall n_0>0:\exists n>n_0: g(n)\geq \delta f(n)\}\textrm{.}$

(이것은 Lance의 정의와 동일합니다.)이 정의로 . $f(n)\in\Omega(n^2)$

— 마커스 리트
소스

2

나는 가장 널리 사용되는 것을 알지 못하지만 (가장 컴퓨터 과학을위한) 가장 오래된 사용법을 알고 있다고 생각합니다.

Hartmanis & Stearns의 "1965 년 계산 알고리즘의 복잡성"에서 Corollary 2.1은 다음과 같습니다.

경우 및 시간 기능이되도록 $U$ $T$ , $\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$ $S_{U} \subseteq S_{T}$

여기서 에서 계산 가능한 모든 문제의 복잡도 종류 인 . T (n)은 일부 정수 와 모든 및 대해 를 준수해야 하지만 시간을 구성 할 필요는 없습니다. $S_{K}$ $O( K(n) )$ $T(n) \geq n/k$ $k$ $n$ $T(n) \leq T(n+1)$

함수는 대한 첫 번째 규칙을 따르지만 두 번째 규칙을 따르지 않습니다. $k = 1$

Corollary 2.2는 위의 역수이며 한계 최고를 사용하지만 여전히 이러한 요구 사항이 있습니다. 알고리즘이 수년에 걸쳐 복잡 해짐에 따라 요구 사항이 완화되었을 수 있습니다.

— 차지 s
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두 가지를 구별해야한다고 생각합니다.

함수의 하한
문제에 대한 하한 (알고리즘)

함수의 경우, 순서를 고칠 때 하한 / 상한 의 정의가 뒤 따릅니다. 순서 관계가 점근 적 전공 인 경우 (상수 요인 무시)

f ⪯ g : \exists c, n \forall m > n . f (x) \leq c g (x)

$f \preceq g : \exists c,n \forall m>n. \ f(x) \leq c g(x)$

정의는 와 의 일반적인 정의입니다 . 둘 다 조합과 같은 다른 영역에서 광범위하게 사용됩니다. $O$ $\Omega$

그러나 문제 (알고리즘)에 대한 하한에 대해 이야기 할 때, 실제로 말하고 싶은 것은 문제를 해결하기 위해 알고리즘을 실행하기 위해 특정 양의 자원이 필요하다는 것입니다. 복잡성 클래스는 종종 와 같은 함수에 의해 매개 변수화되며 , 우리는 문제가 함수에 의해 하 한계라고 간단하게 말하지만 이는 멋진 함수에 대해서만 작동합니다 (예 : 알고리즘의 실행 시간은 모노톤 등). 우리가 이러한 경우에 말하고 싶은 것은 우리가 필요로하는 것입니다 보다, 즉 적은 문제를 해결하기 위해 시간을 실행 $\mathbf{Time}(t(n))$ $n^2$ $n^2$ 실행 시간이 충분하지 않아 알고리즘의 실행 시간이 이 아니라는 Lance의 정의가됩니다 . $o(t(n))$

— 카베
소스