사색 정리를 암시하는 추측

4CT ( Four Color Theorem )는 모든 평면 그래프가 4 가지 색상을 가짐을 나타냅니다. [Appel, Haken 1976]과 [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997]에는 두 가지 증거가 있습니다. 이 두 가지 증명은 모두 컴퓨터를 지원하고 매우 위협적입니다.

그래프 이론에는 4CT를 암시하는 몇 가지 추측이 있습니다. 이러한 추측의 해결은 아마도 4CT의 증거를 더 잘 이해해야 할 것입니다. 다음은 그러한 추측 중 하나입니다.

결론 : 를 평면 그래프 로 설정 하고 를 색상 세트로 설정하고 를 고정 소수점 자유 회전으로 설정합니다. 하자 되도록 할C f : C → C L = ( L v : v ∈ V ( G ) $G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• V ∈ $|L_v| \geq 4$모든 및$v \in V$
• 만약 다음 모든 모두, . f ( α ) ∈ L v v ∈ V α ∈ $\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

그리고 , 그래프 의 컬러링 이 존재한다 .$L$$G$

4CT를 암시하는 그러한 추측을 알고 있다면 각 답변에 하나씩 나열하십시오. 그런 추측에 대한 포괄적 인 목록을 찾을 수 없었습니다.

4CT는 다음과 같습니다.

• 최대 4 가지 색상으로 유한 한 디스크 계열 (내부 분리형 일 필요는없고 임의의 겹칠 수있는 디스크)에 의해 유도 된 하이퍼 그래프에 색칠하기 .$[1]$
• 3 개 이상의 꼭짓점을 가진 모든 평면 삼각 측량은 각각 협부없이 두 개의 연결된 2 분자 그래프의 결합입니다 .$[2]$
• 3 차원 벡터 교차 곱 대수에 대한 조합 문제 .$[3]$
• 문법 G가 완전히 모호하다는 제안 .$[4]$
• 양의 정수 , 두 순열에 합류하는 적어도 부호있는 경로가 있습니다 .S의 $n$$S_n$

• 4 색 정리에 해당하는 대수적 표현이 제시됩니다. 동등한 것은 특정 유한 필드에 대한 다항식 이상 패밀리에서 다항식 패밀리의 비 멤버쉽에 대한 주장이다 .$[6]$

  1. Smorodinsky S. 기하 하이퍼 그래프의 색도에 대해 .
  2. Mabry R. 이분 그래프 및 4 색 정리 .
  3. Kauffman LH Map 착색 및 벡터 교차 곱 .
  4. Cooper BJ et al. 사색 정리의 언어 이론적 증거를 향해 .
  5. Eliahou S. et al. 부호있는 순열과 4 색 정리 .
  6. 하워드 엘 . 4 색 정리의 대수적 재구성 .

4 색 정리의 또 다른 기계적 검증 은 Microsoft Research Cambridge의 George Gonthier 가 수행했습니다 . 그의 증명과의 차이점은 전체 정리가 Coq 증명 어시스턴트를 사용하여 언급되고 기계적으로 검증 된 반면, 다른 증명은 어셈블리 언어 및 C로 작성된 커널 계산 만 포함하므로 버그가 발생할 위험이 있다는 것입니다. Gonthier의 증명은 60,000 줄의 Coq 라인에서 계산적 측면과 논리적 측면을 모두 다룹니다.

나는 내 블로그에서 이것에 대해 이야기했고 우리의 통찰력은 다음과 같습니다. 예를 들어 Tait의 상태는 최대 o (n) 오류가있는 채색이 약해질 수 있습니다. 여기를 참조하십시오 : http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

Guthrie의 4 가지 색상 추측, American Math의 13 가지 다채로운 변형 인 T. Saaty를보십시오. 많은 예를 들어, 월간, 79 (1972) 2-43.

또한 David Barnette의 책 Map Coloring, Polyhedra 및 Four-Color Problem, MAA, Dolciani Series, Volume 8, 1983에는 많은 예가 나와 있습니다. Barnete의 저서에서 특히 흥미로운 결과 중 하나는 다음과 같습니다. 볼록 다면체의 꼭짓점을 잘라서 3가 볼록 다면체를 생성하여 각면의 변의 수가 3의 배수가되도록 항상 가능하다면, 사색 추측의 진실.

Hadwiger 추측 .

Absolute Planar Retracts와 Four Color Conjecture 논문 에서 Pavol Hell은 4CT에 대한 몇 가지 등가 공식을 입증했습니다. 그들 중 하나는 다음과 같이 읽습니다.

모든 평면 그래프는 절대 평면 후퇴가있는 경우 4 색 (4CT)입니다.

$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

모든 브리지없는 입방 형 평면 그래프는 3 가지 색상으로 표시됩니다. 이것은 Tait으로 인해 4CT와 동일합니다.

Bar-Natan 박사의 논문 "Lie Algebras and the Four Color Theorem"(Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, 1999 년 10 월 마지막 업데이트, arXiv : q-alg / 9606016 )에는 Lie 대수에 대한 매력적인 진술이 포함되어 있습니다. 4 색 정리. 성명서에 나오는 개념은 또한 유한 유형의 매듭 (Vassiliev invariants)과 3 매체의 변이 형 이론에 나타납니다.

본 백서의 제안 2.4 ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A#) 는 4CT를위한 또 다른 공식을 제시합니다.

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

더 많은 통찰력을 찾고 있다면 Gonthier의 자동 증거에 대한 높은 수준의 설명을 읽을 가치가 있습니다.

유리 마티 야세 비치 (Muri Matiyasevich)는 4 가지 색 정리의 몇 가지 확률 론적 재구성을 연구했으며, 채색 사이의 유사성에 대한 두 가지 개념 사이의 긍정적 상관 관계를 포함했다. 그의 등가 증명은 관련 그래프 다항식에 의존하는데, 이는 정리를 암시하는 추측에 대한 또 다른 포인터를 제공합니다.

• Georges Gonthier, 공식적인 증거 —4 색 정리 , American Mathematical Society의 공지 55 (11) 1382–1393, 2008.
• 유리 Matiyasevich, 4 색 추측의 하나의 확률 론적 동등성 , Teoriya Veroyatnostei i Primeeniya 48 411–416, 2003 의 종이 번역 .
• 유리 Matiyasevich, 4 색 추측의 확률 론적 진술 , Journal of Graph Theory 46 167–179, 2004. ( preprint )

방금 Chalopin과 Gonçalves (STOC '09)의 논문에서 다음과 같은 West에 대한 추측을 읽었습니다.

모든 평면 그래프는 네 방향 만 사용하는 평면에서 세그먼트의 교차 그래프입니다.

평행 세그먼트가 그러한 표현에서 독립적 인 세트를 형성하기 때문에,이 추측은 4CT를 암시하지만, 아마도 더 강력 할 수도 있습니다.

참조 : West, Open problems . SIAM J 이산 수학 뉴스 레터, 2 (1) : 10-12, 1991.

스나크이 없는 3 에지 착색성 인 연결 브리지리스 삼차 그래프이다. 위키 백과에 이어 4CT를 일반화하는 스 네크 추측 은 다음과 같습니다.

모든 snark에는 Petersen 그래프에서 일부 가장자리를 세분화하여 만들 수있는 하위 그래프가 있습니다.

Wikipedia에 따르면이 추측의 증거는 2001 년 Robertson, Sanders, Seymour 및 Thomas에 의해 발표되었다.

"최대 평면 그래프의 얼굴 라벨링"은 최근에 출판 된 나의 오래된 논문의 제목으로, 최대 평면 그래프의 4 가지 색상을 얼굴 라벨링의 일관성으로 변환했습니다. 논문 링크는 http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf 입니다 .

같이

LH Kauffman, 지도 색 정리 재구성, 이산 수학 302 (2005) 145–172

G. Spencer-Brown으로 인한 최초 원칙 과 Eliahou -Kryuchkov의 추측 은 FCT의 동등한 개혁입니다.

• S. Eliahou, 부호있는 대각선 뒤집기와 4 색 정리, 유럽 J. Combin. 20 (1999) 641–646.
• SI Kryuchkov, 4 색 정리 및 나무, IV Kruchatov, 원자력 연구소, 모스크바, 1992, IAE-5537 / 1.
• G. Spencer-Brown, 형식의 법칙, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997.

Garry Bowlin과 Matthew G. Brin의 논문 "Associahedra에서 컬러 경로를 통한 평면 그래프 색칠", 2013 년 5 월 12 일 개정, arXiv : 1301.3984 math.CO 는 26 페이지의 다음과 같은 추측을 포함합니다.

추측 6.4. 같은 수의 잎을 가진 유한 한 이진 트리 (D, R)의 모든 쌍에 대해 D에 대한 부호 할당과 D에 유효한 회전 기호의 단어 w가 있으므로 Dw = R이됩니다.

논문의 이전 명제와 정리에 따른 추측 6.4는 4CT와 같다고 명시되어있다.

K -flow 무향 그래프 G 의 각각의 에지를 대체함으로써 유도 방향성 그래프 G 아크와 그것의 정수 할당 -k 및 K 배타적 같은, 즉 G의 각 정점의 정수의 합계 해당 정점을 가리키는 호에 할당 된 것은 호를 가리키는 호에 할당 된 정수의 합과 같습니다. NWZ (0이 아님) k -flow는 호에 숫자 0이 할당되지 않은 k- flow입니다.

어떤 평면 그래프 G 의 이중 G는 의 평면 매립의 각면에 대해 하나 개의 정점이 포함 된 그래프 G , 모든 에지들을 연결하는 듀얼 주 한쪽 가장자리에서 두 정점을 그 안에 해당 얼굴 G의 사이 주 그들의 경계에서. Tutte의 Flow-Colouring Duality Theorem에 따르면, 지혈이없는 평면 그래프 (즉, 결실이 구성 요소의 수를 증가시키는 가장자리)는 이중이 k- 채색 인 경우에만 NWZ k- 흐름을 갖습니다. 다시 말해, 평면 그래프는 이중에 NWZ 4 흐름이있는 경우에만 4 색입니다.

루프가있는 모든 정점은 임의의 색상 세트로 정점 색상을 지정할 수 없으므로 4CT에서는 문제의 평면 그래프에 루프가 없어야합니다 (정점을 자체에 연결하는 에지). 색상에 관계없이 동일한 색상의 정점.

나는 이것을하고있다 :

직사각형지도, 즉 겹치는 종이로 만든지도에 대한 정리를 증명할 수 있다면 4ct도 증명 한 것입니다. 또한 검색시 모서리가 5 개 이상인면이있는 맵만 고려할 수 있습니다.

자세한 내용은 http://4coloring.wordpress.com/ 을 참조하십시오.