UPB에 대한 다항식 알고리즘 (확장 할 수없는 제품 기반)

힐버트 공간을 고려 $H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$. UPB (Unextendable Product Basis)는 일련의 제품 벡터입니다.$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$ 그런 :

a) 모두 $\vert v_i \rangle$ 서로 직교하다

b) 모두에 직교하는 생성물 벡터가 없다 $\vert v_i \rangle$

c) 기초는 사소하지 않다, 즉 스팬되지 않는다 $H$

(이러한 기지는 양자 정보에 관심이있다)

질문 :

1. 다항식 알고리즘이 있습니까? $n$) UPB를 찾으셨습니까? (일반적으로 UPB의 크기에는 상한이 없으므로 우선 순위가 기하 급수적입니다.$n$)

2. 주어진 제품 기준이 UPB인지 확인하기위한 다항식 알고리즘이 있습니까? (즉, 연장 불가)

아니면 문제가 NP- 완전합니까?

나는 질문에 약간 당황했습니다 (1). 확장 할 수없는 제품 기준이$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ 만약 $n\geq 3$ 아니면 $n=2$ 과 $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$. 이 모든 경우에 하나를 찾는 것이 간단합니다.

질문 (2)의 경우, 질문은 하위 공간에 텐서 곱 상태가 기준에 의해 확장 된 공간의 보완인지 여부를 확인하는 것과 같습니다. Leonid Gurvits는 일반 하위 공간에 텐서 제품 상태가 포함되어 있는지 확인하는 것이 NP-hard이므로이 경우에도 어렵다고 생각합니다.

전체 분류는 또 다른 간단한 사례 3x3에 대해서도 알려져 있으며, 이는 먼저 http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 에서 다루고 있습니다.

결과는 순위 4의 임의의 3x3 PPT 얽힌 상태의 구성과 관련이 있습니다. 논문 참조

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .