알고리즘 문제는 계산으로 인해 시간 복잡성이 지배적입니까?

계산이라고 부르는 것은 함수에 대한 솔루션 수를 찾는 것으로 구성된 문제입니다. 더 정확하게 말하면, 함수 $f:N\to \{0,1\}$ (블랙 박스 일 필요는 없음), 대략적인 $\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$.

나는 일종의 계산과 관련된 알고리즘 문제를 찾고 있으며이 복잡한 계산 문제에 의해 시간 복잡성이 크게 영향을받습니다.

물론 문제 자체를 계산하지 않는 문제를 찾고 있습니다. 이러한 문제에 대한 문서를 제공 할 수 있다면 대단히 감사하겠습니다.

$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$\binom{n}{2}$ 교차점과 중복 점을 찾으십시오.

마찬가지로 요소의 3 배가 합이되는 숫자 집합이 있습니다 . 따라서 주어진 집합이 0으로 합쳐진 3 개의 요소를 포함하는지 여부를 테스트하는 알고리즘 (특정 클래스의 의사 결정 트리로 모델링) 에는 시간이 필요 합니다. ( 비트 수준 병렬 처리를 통해 일부 로그 를 제거 할 수 있지만 무엇이든 가능합니다.)$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

내 논문에서 또 다른 예는 Hopcroft의 문제입니다. 평면에 점과 선이 주어지면 어떤 점에도 선이 포함됩니다. 최악의 포인트 라인 발생 횟수는 입니다. 제한된 (그러나 여전히 자연스러운) 계산 모델에서는 포인트 라인 발생률이 하나인지 여부를 확인하기 위해 시간이 필요 하다는 것을 증명했습니다 . 직관적으로, 우리는 모든 -incidences 근처에 열거하고 각각이 실제로 발생하는지 확인해야합니다.$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$$\Omega(n^{4/3})$$\Theta(n^{4/3})$

공식적으로, 이러한 하한은 여전히 ​​추측에 불과합니다. 제한된 계산 모델이 필요하기 때문에 당면한 문제, 특히 Hopcroft의 문제에 특화된 계산 모델이 필요하기 때문입니다. 그러나 RAM 모델에서 이러한 문제에 대한 하한을 증명하는 것은 다른 하한 문제처럼 어렵습니다 (즉, 실마리가 없습니다) — Patrascu와 Williams 의 SODA 2010 논문 에서 지수의 시간과 3SUM의 일반화를 참조하십시오 가설.

이것이 이것이 당신이 의미하는 바인지는 확실하지 않지만 문제를 세는 것처럼 보이지 않는 많은 문제가 있지만 문제를 해결하는 방법을 아는 가장 좋은 방법은 객체를 세는 것입니다. 이러한 문제 중 하나는 그래프에 삼각형이 있는지 여부를 감지하는 것입니다. 알려진 가장 빠른 알고리즘은 인접 행렬의 큐브의 추적을 계산하는 것입니다.이 행렬은 (방향이 지정되지 않은) 그래프의 삼각형 수의 6 배입니다. Coppersmith-Winograd 행렬 곱셈 알고리즘을 사용하여 O ( ) 시간이 걸리며 , 1978 년 Itai와 Rodeh 에 의해 처음 발견되었습니다 . 마찬가지로, 우리가 k- 크릭 을 감지하는 가장 좋은 방법은 행렬 곱셈을 통한 k- 크릭 수.$|V|^{2.376}$

Valiant는 행렬의 영속성을 찾는 문제가 #P에 대해 완료되었음을 증명했습니다 . 문제에 대한 위키 백과 페이지 를 참조하십시오 . #P는 NP 머신의 수용 경로 수를 세는 것에 해당하는 복잡성 클래스입니다.

Bipartite Planar (및 로그 속) Perfect Matching은 평면 일치 (Galuccio 및 Loebl에 의해 확장되고 Kulkarni, Mahajan & Vardarajan에 의해 병렬화)를 계산하는 Kastelyn의 알고리즘이 문제의 검색 버전에서도 중요한 역할을하는 문제입니다. 모든 관련 참조 자료는 다음 백서에서 찾을 수 있습니다.

NC의 일부 완벽한 매칭과 완벽한 반 적분 매칭. Raghav Kulkarni, Meena Mahajan 및 Kasturi R. Varadarajan. 시카고 이론 컴퓨터 과학 저널, 볼륨 2008 년 제 4 조.

나는 "큰 영향을받는"것을 축소보다는 소프트 제약으로 간주 할 것입니다. 그런 의미에서 계산 기하학의 많은 문제에는 실행 구조 시간이 있으며 그 기초가되는 조합 구조에 의해 제한됩니다. 예를 들어, 형상의 배열을 계산하는 복잡성은 그러한 배열의 본질적인 복잡성과 직접적으로 연결된다.

이것의 또 다른 주제는 포인트 패턴 매칭의 다양한 문제가 실행 시간을 가짐으로써 포인트 세트의 반복 거리 수와 같은 수량을 추정하는 것입니다.

이것이 당신이 찾고있는 것인지 확실하지 않지만 NP-Complete 문제의 단계 전이는 확률 적 인수에 크게 의존합니다.

LLL 은 일부 '저밀도'부분 집합 합계 문제를 해결하는 데 사용되었으며, 그 성공은 부분 집합 합계 솔루션의 기준을 충족하는 기존의 높은 확률의 짧은 격자 벡터에 의존합니다. 측량 전파 는 임계 값 근처의 솔루션을 찾기 위해 솔루션 공간의 구조 (및 변수를 수정하는 솔루션의 수)에 의존합니다.

Borgs, Chayes 및 Pittel 은 (Uniform) Random Number Partition Problem의 위상 전이를 거의 완전히 특성화하여 Number Partition Problem의 주어진 (임의의) 인스턴스에 대해 얼마나 많은 솔루션을 기대할 수 있는지를 특성화했습니다.