모호성과 논리

오토마타 이론 (finite automata, pushdown automata, ...)과 복잡성에는 "모호성"이라는 개념이 있습니다. 적어도 2 개의 별개의 수용 실행을 갖는 단어 가 있으면, 오토 마톤은 모호하다 . 기계는 모든 단어에 대한 경우 -ambiguous 가장에있다가 기계에 의해 허용 받아들이는 별개의 실행 .k w k $w$$k$$w$$k$$w$

이 개념은 문맥이없는 문법에 대해서도 정의됩니다. 문법은 두 가지 다른 방식으로 파생 될 수있는 단어가있는 경우 모호합니다.

또한 많은 언어가 유한 모델에 비해 훌륭한 논리적 특성을 갖는 것으로 알려져 있습니다. 언어의 경우 ( 규칙적, 모나드 2 차 화학식 존재 모든 단어되도록 단어 이상 의 의 모델 마찬가지로 NP을 경우마다 2 차 한정사가 존재있는 2 차 수식 동등 .)ϕ w L $L$$\phi$$w$$L$$\phi$

따라서 내 질문은 두 영역의 가장자리에 있습니다. 주어진 논리의 수식의 "모호성"에 대한 결과 또는 정식 정의가 있습니까?

몇 가지 정의를 상상할 수 있습니다.

• $\exists x \phi(x)$ 최대 하나가 존재하면 비 모호 되도록 보유하고 있는지 비 모호. ϕ ( x ) ϕ ( x $x$$\phi(x)$$\phi(x)$
• $\phi_0\lor\phi_1$ 의 모델이 존재하는 경우 모호한 것 모두 및 경우, 또는 모호합니다. ϕ 1 ϕ $\phi_0$$\phi_1$$\phi_i$
• SAT 수식은 최대 하나의 올바른 할당이 있으면 모호하지 않습니다.

따라서 나는 그것이 잘 알려진 개념인지 궁금합니다. 그렇지 않으면이 주제에 대한 연구를 시도하는 것이 흥미로울 수 있습니다. 이 개념이 알려져 있다면, 누구든지 문제에 관한 정보를 검색하는 데 사용할 수있는 키워드 ( "논리적 모호함"이 많은 관련없는 결과를 제공하기 때문에) 나 책 / pdf / 문서 참조를 제공 할 수 있습니까?

문법의 규칙과 논리의 추론 규칙은 모두 "알려진 것"에서 "새로운 것"을 제공하는 생산 규칙으로 생각할 수 있습니다. 문법과 관련하여 단어를 생성 (또는 구문 분석)하는 많은 방법이있을 수있는 것처럼 논리 수식을 생성 (또는 증명)하는 많은 방법이있을 수 있습니다. 이 비유는 더 나아질 수 있습니다. 예를 들어 특정 논리 시스템은 일반적인 형태의 증명을 허용합니다. 마찬가지로 특정 문법에서는 정식 구문 분석 트리를 허용합니다.

그래서 논리의 예가 잘못된 방향으로 가고 있다고 말하고 싶습니다. 올바른 비유는

"parse tree": "word"= "proof": "논리적 수식"

사실, 충분히 일반적인 종류의 문법은 전형적인 논리의 추론 규칙을 표현할 수있어 문법적으로 올바른 단어가 정확하게 입증 가능한 공식이 될 것입니다. 이 경우 구문 분석 나무는 실제로 것입니다 수 교정쇄.

반대로 우리가 매우 일반적인 추론 규칙 (전통적인 논리적 인 풍미를 가질 필요는 없음)을 기꺼이 생각한다면, 모든 문법은 공리 체계 (터미널)와 추론 규칙 (제작)으로 표현 될 수있을 것입니다. 그리고 다시 한 번 증명은 파싱 트리와 같은 것임을 알 수 있습니다.

두 가지만 언급하십시오. 나는 그들이 도움이되기를 바랍니다.

논리와 진리의 의미론의 표준 정의는 공식 구조에 대한 유도로 진행되는 Tarski의 발표를 따릅니다. 또 다른 가능성은 Hintikka가 제안한대로 게임 기반 시맨틱을 제공하는 것입니다. 진실과 만족도는 모두 게임의 전략 측면에서 정의됩니다. 1 차 공식의 경우 Hintikka 게임에 승리 전략이있는 경우에만 Tarski의 개념 하에서 공식이 사실임을 증명할 수 있습니다.

질문을 공식화하기 위해 게임이 여러 전략을 인정하는지 물어볼 수 있습니다. 전략이 결정 론적이어야하는지에 대한 흥미로운 질문도 있습니다. Hintikka는 그들이 결정 론적이어야한다고 요구했다. Hintikka의 원본과 Tarski의 의미가 동등하다는 증거는 선택의 원칙을 요구합니다. 또한 비 결정적 전략을 사용하여 복잡성을 최소화하면서 게임의 관점에서 진실을 공식화 할 수 있습니다.

언어 이론의 예는 결정론, 시뮬레이션 관계 및 언어 수용을 염두에 두었습니다. 오토마타 간의 시뮬레이션 관계는 대화가 사실이 아니지만 언어 간의 언어 포함을 의미합니다. 결정 론적 오토마타의 경우 두 개념이 일치합니다. 비 결정적 오토마타의 언어 동등성을 포착하기 위해 '부드러운'방식으로 시뮬레이션 관계를 확장 할 수 있는지 묻습니다. Kousha Etessami는 k- 시뮬레이션 ( Automata를위한 다항식 시간 계산 시뮬레이션의 계층)을 사용하여이 작업을 수행하는 방법을 보여주는 정말 훌륭한 논문을 가지고 있습니다). 직관적으로, 'k'는 시뮬레이션 관계가 포착 할 수있는 비결 정성 정도를 반영합니다. 'k'가 오토 마톤에서 비결 정성 수준과 같을 때 시뮬레이션과 언어 동등성이 일치합니다. 이 논문은 또한 다항식 모달 로직과 1 차 로직의 경계 변수 단편으로 k- 시뮬레이션의 논리적 특성을 제공합니다. 하나의 범퍼 패키지에 언어 포함, 결정론, 게임, 모달 로직 및 1 차 로직이 모두 포함되어 있습니다.

이것은 Andrej Bauer의 답변으로 시작되었지만 너무 커졌습니다.

유한 모델 이론의 관점에서 모호성을 명확하게 정의하는 것은 다음과 같습니다. $ambiguous(\phi) \implies \exists M_1,M_2 | M_1 \vDash \phi \wedge M_2 \vDash \phi \wedge M_1 \vDash \psi \wedge M_2 \nvDash \psi$

다시 말해, 일부 공식 ψ , 아마도 ϕ 의 하위 공식으로 구별 할 수 있는 공식 으로 인코딩 된 문법의 고유 모델이 있습니다 .$\phi$$\psi$$\phi$

이를 설명 복잡성 (Descriptive Complexity)을 통해 증명에 대한 Andrej의 응답에 연결할 수 있습니다. 특정 모델의 인코딩의 존재와 주어진 공식의 모델로서 적절한 TM에 의한 그것의 수용의 조합은 그 공식으로 인코딩 된 공리 및 추론 (및 이에 상응하는 문법)이 일치한다는 증거이다.

이것을 Andrej의 답변과 완벽하게 호환하려면 필터링 및 인코딩 동작을 통해 가능한 모든 유한 모델 (또는 이와 유사한 것)의 공간에서 필터 역할을하는 공식에 의해 모델이 "생성"되어야합니다. 입력 모델에서 "증거"로 그런 다음 뚜렷한 증거가 모호성을 목격합니다.

이것은 대중적인 정서는 아닐지 모르지만 유한 모델 이론과 증명 이론은 다른 각도에서 본 것과 같은 것으로 생각하는 경향이 있습니다. ;-)

CS에 적용되는 질문은 확실하지 않지만 Vagueness and logic이라는 용어를 검색해보십시오. 논리 철학에서 모호성은 일반적으로 모호함과 구별되며 ( 예를 들어 여기 참조 ) 모호함은 모호함이라고 생각합니다 (모호함은 경계선이있는 용어로 정의 됨). 이 분야의 주요 책은 Timothy Williamson의 Vagueness입니다 (그러나 Stanford 사이트의 참고 문헌도 참조하십시오).

나는 또한 Anrej에 동의합니다.

나는 설명의 복잡성이 계산이없는 특성화 (그 자체의 방식으로 재미있게 만듭니다) 라고 생각 하므로 공식 언어 이론 (automata / grammars / ...)의 계산 모호성 예는 상당히 다른 도메인에 있다고 생각합니다. . 기술적 인 복잡성에서 언어는 복잡성 클래스에 해당하고 쿼리 (언어)는 계산 문제 (알고리즘이 아님)에 해당합니다. 쿼리 AFAIK를 확인 / 계산하는 의도 된 방법은 없으므로 계산 모호성 IMHO를 찾고 있지 않은 경우 이러한 예는 잘못된 것입니다.