Nurikabe의 복잡성은 무엇입니까?

Nurikabe 는 지뢰 찾기 / Nonograms와 거의 유사한 구속 조건 기반 그리드 채우기 퍼즐입니다. 숫자는 각 셀에 대한 켜기 / 끄기 값으로 채워질 그리드에 배치되며 각 숫자는 해당 크기의 연결된 '온'셀 영역을 나타내며 '오프'셀 영역에 대한 약간의 제약 조건이 있습니다. 연결되어 있어야하며 인접한 2x2 영역을 포함 할 수 없습니다). Wikipedia 페이지에는보다 명확한 규칙과 샘플 퍼즐이 있습니다.

일반적으로 이런 종류의 퍼즐은 NP가 완성되는 경향이 있으며 Nurikabe도 예외는 아닙니다. 솔루션 자체가 문제에 대한 (다항식으로 검증 가능한) 증거 역할을하기 때문에 NP에 빠지게됩니다. 그러나 대부분의 유사한 퍼즐과 달리 Nurikabe 인스턴스는 간결 할 수 있습니다 그리드의 스도쿠 는 Θ ( n ) 을 풀 수 있어야합니다 ( n - 1 보다 작은 수 를 제공하면 누락 된 기호를 구별 할 방법이 없습니다) , 노노 그램은 분명히 각 행이나 열에 대해 적어도 하나가 필요하며, 지뢰 찾기는 적어도 1 에 대해 주어야합니다.$n\times n$$\Theta(n)$$n-1$셀 중 16 개 또는 주어진 셀 옆에없는 셀이있을 것입니다 (따라서 상태를 결정할 수 없음). Nurikabe 퍼즐의 기븐스가 합계있는 동안 그러나Θ(N2), 그것을 가지고하는 것이 가능O(1)그래서, 그 크기의 각을 기븐스Θ(로그(N))비트는 Nurikabe 퍼즐을 지정하기에 충분 수도 크기N- 또는 반전k 개의비트는 지수의 크기의 Nurikabe 인스턴스 지정 충분할 수K를유일한 보장 NEXP에 그 문제가 놓여 있음을 의미한다.$1\over16$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

불행히도, Nurikabe의 경도에 대한 증거는 모두 일정한 크기의 가진 구조를 사용한다는 것을 발견했습니다 . 그래서 그들의 인스턴스는 대수보다는 격자 크기가 다항식이며 모든 해결할 수있는 간결함을 배제 할 수는 없습니다. Nurikabe 퍼즐은 솔루션이 간결하게 설명되고 검증 될 수 있도록 추가적인 구조를 가지고있다. 예를 들어, 내가 Θ ( n 2 ) 크기의 2 개의 주어진 퍼즐을 알고있는 하나의 예 는 각각 O ( 1 ) 의 합집합 인 on 및 off 셀의 영역으로 연결됩니다.$\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$사각형과 같이 간결한 설명이 있습니다. 누구든지 기본적인 NP- 완전성 결과를 넘어이 퍼즐에 대해 수행 된 추가 연구, 특히 간결한 사례에 대한 추가 복잡성에 대해 알고 있습니까?

(참고 : 이것은 원래 math.SE에서 요청 되었지만 아직 답변이 없으며이 사이트에 대한 적절한 조사 수준 인 것 같습니다)

당신은 정말로 묻는 것 같습니다 : 누리 카베는 NP에 있습니까?

Nurikabe는 NP-hard입니다. NP 완료 문제를 Nurikabe 결정 문제로 줄이는 데 사용할 수있는 다항식 가젯을 만들 수 있기 때문입니다. Holzer, Klein 및 Kutrib이 수행하는 작업과 McPhail 및 Fix도 포스터에 포함되어 있습니다 (둘 다 위키 백과 기사 참조).

두 저자 그룹 모두 NP에서 문제가 사소한 것으로 가정하고 회원 문제를 파기합니다. 간결한 인스턴스에 대한 당신의 불안감이 자리 잡은 것처럼 보입니다. 문제가 NP에 있다고 생각하지 않습니다. 결정 문제점을 공식화하려면 다음 방법을 고려하십시오.

BINARY NURIKABE
입력 : Nurikabe 보드를 나타내는 2 진수 정수 m 및 n 및 3 개의 목록 (각 보드의 위치 및 해당 위치에 기록 된 양의 정수)을 나타냅니다.
질문 : Nurikabe 제약 조건에 따라 나머지 보드 위치에 두 가지 색상으로 색상을 지정할 수 있습니까?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

그러면 귀하의 질문은 다음과 같습니다. 모든 이진 Nurikabe 인스턴스에 대해 다항식 크기의 인증서가 있습니까? 다항식 시간으로 확인할 수 있습니까?

그러한 인증서가 반드시 존재한다는 것은 분명하지 않습니다. 간결하고 빠르게 검증 가능한 인증서가 존재할 수 없다는 것을 증명하는 방법도 분명하지 않습니다.

그러나 고유 한 솔루션에 대한 제한 은 문제가 실제로 미국 하드 (hard-hard)이므로 co-NP 하드 (hard-co-hard)이므로 NP에있을 가능성이 없다는 것을 의미합니다. 요점은 "독특한 해결책을 가지고있다"를 누리 카베 제약 (인간에게 제시되는 사례의 바람직한 특징과 대조되는)으로 간주한다면 해결책이 있다는 것을 입증하는 것만으로는 충분하지 않지만 또한 해결책이 있어야한다는 것입니다 다른 솔루션은 불가능하다는 것을 보여줍니다. 이 요구 사항만으로도 문제가 NP에 없을 수 있습니다. 단항 버전의 문제에서도 마찬가지입니다.

요약하면, 고유 한 솔루션 요구 사항을 완화하고 보드 크기를 단항으로 지정하면 의사 결정 문제는 NP에 있습니다. 고유하지 않은 솔루션과 이진 보드 크기를 사용하면 의사 결정 문제가 NP에 있는지 확실하지 않습니다. 독창적 인 솔루션을 사용하면 의사 결정 문제는 미국이 어렵 기 때문에 보드 크기를 인코딩 할 때 NP가 될 가능성이 적습니다.