L2를 L1에 등각 투영

의 포인트 부분 집합 (즉, 유클리드 거리가 있는 에 점이 주어짐)이 주어지면 \ ell ^ {n \ choose 2 } _1 .$n$$\ell_2^d$$n$${\mathbb R}^d$$\ell^{n\choose 2}_1$

아이 소메 트리는 다항식 시간으로 계산할 수 있습니까?

유한 정밀도 문제가 있기 때문에 정확한 질문은

설정된 주어 $X$ 의 $n$ 의 점 ${\mathbb R}^d$ 및 $\epsilon >0$ , 맵핑가 $f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$ 계산할 수있는 (아마도 이용 랜덤)에서 n의 시간 다항식 $n$과 1 / \ epsilon의 로그로 $1/\epsilon$모든 $x,y\in X$ 대해

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(참고 : O (\ epsilon ^ {-2} \ cdot \ log n 에 투영 하면 왜곡 및 (1 + \ epsilon) 매핑이 n 및 1 / \ epsil$(1+\epsilon)$ 에서 높은 확률로 다항식으로 찾을 수 있음을 알고 있습니다 ) 임의 라인,하지만 나는 확실히 차원의 수는 건설적으로 감소 할 수 있지 않다 경우 \ 없음 2를 선택 짝수 또는 O (N ^ 2) 때 1 / \ 엡실론은 보다 큰 N , 내가 알고하지 않습니다이 n 에서 1 / \ epsilon 이 지수 인 경우를 처리하는 다항식 시간 방법 입니다.)$n$$1/\epsilon$$O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$$n\choose 2$$O(n^2)$$1/\epsilon$$n$$1/\epsilon$$n$

Suresh는 위의 의견을 답변으로 모아달라고 요청했습니다. 입력 된 유클리드 공간의 크기가 일정하지 않을 때 다항식 시간을 만드는 방법이 확실하지 않기 때문에 원래 질문에 대한 대답인지는 확실하지 않습니다. 적어도 원래의 질문과 같이 큰 으로 문제를 피할 수있는 이점이 있습니다 . 왜냐하면 어떤 근사도 포함하지 않기 때문에 상수 대해 다항식입니다 .$1/\epsilon$$d$

어쨌든 : 통합 기하학 에서 유클리드 합동에 따라 변하지 않는 차원 유클리드 공간 의 초평면 세트에 대한 표준 측정 이 있습니다. 그것은 어떤 경계 길이의 곡선의 길이를 그 속성을 갖는 초평면의 측정 값에 비례 그런 크로스 초평면이 교차하는 경우 즉 다수와 ( 두번 그럼 건너 초평면의 전체 측정 값에 두 번 기여 ). 경우 특히 선분은 다음 다양성의 합병증은 발생하지 않으며 우리는 교차하는 초평면에 측정을 정상화 할 수 정확히 길이로$d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$. ( 포함하는 하이퍼 플레인의 측정 값은 0이므로 무한대의 다중성에 대해 걱정하지 마십시오.)$C$

이제 d- 차원 공간에 n 개의 점 세트가 주어지면 점의 각 파티션에 대해 좌표를 점을 통과하지 않는 초평면에 의해 유도 된 두 개의 하위 집합으로 만듭니다. 파티션 좌표 값의 한쪽에있는 점과 파티션 좌표 값의 다른쪽에있는 점을 해당 파티션을 유도하는 초평면 세트의 측정 값과 동일하게하십시오.$\ell_1$

경우 와 의 임의의 두 가지 점을 보자 선분 교차 초평면들의 집합 및하자 의 서브 세트 일 수 가있는 각 가능한 초평면 파티션에 의해 형성된 한쪽에 다른 쪽. 그러면 는 의 분리 된 합집합이고 와 간의 좌표 차이 는 부분 집합 의 측정치 입니다. 따라서 와 coordinatizations 사이 의 거리$p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$$p$$q$ ( 측정 값의 합계 )는 측정 값으로 와 사이 의 원래 거리 입니다.$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

계산 지오 미터의 경우 동일한 구성에 대한 대체 설명이 도움이 될 수 있습니다. 투사 이중성을 사용하여 입력 포인트를 하이퍼 플레인 으로 변환하고 하이퍼 플레인을 포인트로 분리하십시오. 그런 다음 초평면 세트의 적분 형상 측정 값이 점 세트에 대해보다 표준적인 측정 값으로 변환되고, 와 사이의 거리 가 두 초평면 간의 이중 웨지 측정 값으로 이중화되고, 초평면 배열은이 이중 웨지를 더 작은 셀로 분할합니다. . 점의 좌표 값은 배열의 셀 중 하나의 측정 값 (이중 하이퍼 플레인이 해당 좌표 셀 아래 인 경우) 또는 0 (이중 하이퍼 플레인이 셀 위에있는 경우)입니다. 따라서$n$$n$$p$$q$$\ell_1$ 사이의 거리 및 전체 이중 쐐기의 측정과 동일한 더블 쐐기의 셀의 측정 단지 합이다. 이 이중 관점은 또한 이러한 방식으로 발견 된 임베딩의 차원을 쉽게 계산할 수있게합니다. 이는 하이퍼 플레인 배열의 셀 수 또는보다 정확하게는 최대 .$p$$q$$O(n^d)$$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

지금까지 이것은 완전히 결정적이고 정확한 임베딩을 제공합니다 . 그러나 더 작은 차원 인 . Carathéodory의 정리 에 대한 Luca의 의견 이 들어옵니다. 메트릭 세트는 정렬되지 않은 점 쌍에서 실수까지 모든 함수 의 차원 공간에 다면체 원뿔을 형성하며 위의 기하학적 주장은 다음과 같습니다. 유클리드 메트릭은이 원뿔에 속합니다. 원뿔의 극한 광선의 점은 1 차원$\ell_1^{O(n^d)}$$\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$$n\choose 2$$\ell_1$의사 측정 (점이 두 세트로 분할되고 단일 세트 내의 모든 거리가 0이고 분할의 모든 거리가 동일 함)와 Carathéodory는 원뿔 내의 모든 포인트 (우리가 관심있는 것을 포함하여)가 숫자가 최대 주변 공간의 차원 인 극단 광선의 점의 볼록한 조합으로 표시됩니다 . . 그러나 최대 1 차원 메트릭 의 볼록한 조합은 메트릭입니다.$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$\ell_1^{n\choose 2}$

마지막으로, 차원 임베딩을 실제로 계산하는 방법은 무엇입니까? 이 시점에서 우리는 메트릭 의 차원 볼록한 원뿔 (시작한 거리 측정법 의 한 지점뿐만 아니라 원뿔 의 극단 점도 가지고 있습니다. (초평면에 의해 유도 된 두 개의 서브 세트들로의 입력의 분할에 대응하는) 우리 메트릭이 극단적 포인트 볼록 결합되도록 - 소형 용 , 이것은 위에 큰 개선 콘을 가지고 익스트림 광선 사무용 겉옷. 이제 우리가해야 할 일은 까지만 세트에서 극단적 인 포인트를 하나씩 제거하는 욕심 많은 알고리즘을 적용하는 것입니다.$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$$n\choose 2$그들 중 남아 있습니다. 각 단계에서, 우리의 메트릭은 여전히 ​​선형 프로그래밍 타당성 문제인 나머지 극단 점의 볼록 껍질 안에 고정되어 있어야합니다. 이렇게하면 Carathéodory는 항상 볼록 껍질에 입력 지표가 포함 된 극단 점 .$n\choose 2$