미량 동등성 대 LTL 동등성

LTL과 동일하지만 추적과 같은 두 가지 전이 시스템의 쉬운 예를 찾고 있습니다.

필자는 "모델 확인 원칙"(Baier / Katoen) 책에서 LTL 동등성보다 미량 동등성에 대한 증거를 읽었지만 실제로 이해하고 있는지 잘 모르겠습니다. 그림을 그릴 수 없습니다. 차이를 시각화 할 수있는 간단한 예가 있습니까?

lo.logic model-checking linear-temporal-logic

— 마그나 틱
소스

제목의 약어를 확장하는 것이 좋습니다. 이것은 다른 사람들이 질문과 답변을 찾는 데 도움이되고 좋은 응답을 제공 할 수있는 사람들의 관심을 끌도록 도와 줄 것입니다.

— Marc Hamann

구글 검색을 언급하지 않는 :)

— Suresh Venkat

@Marc : 약어를 사용하면 LTL은 절대적으로 표준입니다. 짧은 이름 (B, D4.3, KL 등)과 같은 모달 논리 학자입니다. 태그가 있다면 제목을 확장해서는 안된다고 생각합니다.

— Charles Stewart

질문은 여전히 잘 정의되어 있지 않습니다. 무한 Kripke 구조를 허용합니까? 혼합 된 (최대) 유한 추적과 무한 추적을 고려합니까, 아니면 무한 추적 만 허용합니까? AFAICR Baier & Katoen은 유한 Kripke 구조와 무한한 흔적만을 고려하기 때문에 아래에서 Dave의 대답을 배제하기 때문에 묻습니다.

— Sylvain

@atticae : 유한 한 Kripke 구조 (따라서 무한한 흔적)로 LTL 동등성과 흔적 동등성이 같은 것으로 기대할 것입니다 ... 생각할 것입니다.

— Sylvain

답변:

Baier와 Katoen을 자세히 읽으면 유한 및 무한 전이 시스템을 모두 고려하고 있습니다. 정의에 대해서는이 책의 20 페이지를 참조하십시오.

먼저 간단한 전환 시스템 . $EVEN$

기본 : LTL 공식이 언어 Traces 인식하지 않습니다 . 문자열 iff 짝수 . Wolper '81 참조 . "다음 시간"연산자 를 사용하는 LTL 수식이 대해 형식의 문자열을 구별 할 수 없음을 먼저 표시하여이를 증명할 수 있습니다. $L_{even} =$ $(EVEN)$ $c \in L_{even}$ $c_i = a$ $i$ $n$ $p^i\neg p p^\omega$ $i> n$ 간단한 유도에 의해.

다음과 같은 (무한의 비 결정적) 전이 시스템 . 초기 상태는 두 가지입니다. $NOTEVEN$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

그 흔적은 정확하게 입니다. $\{a,\neg a\}^\omega - L_{even}$

명예에 대한 추론 : 만약 이면 $NOTEVEN \vDash \phi$ $EVEN \not\vDash \neg\phi$

이제이 간단한 전환 시스템을 고려 : $TOTAL$

총 TS

그 흔적은 분명히 입니다. $\{a,\neg a\}^\omega$

따라서 및 은 미량 동등하지 않다. 그것들이 LTL과 동등하지 않다고 가정하십시오. 그렇다면 우리는 LTL 수식 것이다 되도록 및 . 그러나, . 이것은 모순입니다. $NOTEVEN$ $TOTAL$ $\phi$ $NOTEVEN \vDash \phi$ $TOTAL \not\vDash \phi$ $EVEN\vDash \neg\phi$

이 답변의 첫 번째 버전에서 바보 같은 버그를 발견 한 Sylvain에게 감사합니다.

— 마크 레이블 랏
소스

흠, 이것은 명확하지 않다. 모순에 대한 단계를보다 분명하게해야합니까? 전환 시스템은 또한

— 예전

언어를 잘못 해석하는

: 제안하는 시스템은 공식

. a로 표시되는 상태

과

표시되지 않은

이동하는 것 사이 에서 초기

레이블이

상태

에서 올바른 시스템은 비 결정적 선택을 가져야

. 두

과

L_{even}

$L_\text{even}$

a \land G ((a \to X \neg a) \land (\neg a \to X a))

$a\wedge\mathsf{G}((a\to\mathsf{X}\neg a)\wedge(\neg a\to\mathsf{X}a))$

a

$a$

q_{0}

$q_0$

q_{1}

$q_1$

a

$a$

q_{2}

$q_2$

a

$a$

q_{1}

$q_1$

는 전환이

돌아갑니다.

q_{2}

$q_2$

q_{0}

$q_0$

— Sylvain

@ 실뱅 당신이 맞습니다. 나는 단순화하려고 노력했다. 그 문제를 해결하겠습니다.

— Mark Reitblatt

당신은 인수를 "반대"할 수 없습니다 그래서 당신은 결국 비교 두 시스템임을

과

대신

과

E V E N

$\mathit{EVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

N O T E V E N

$\mathit{NOTEVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

— Sylvain

@ 마크 Reitblatt : 무엇 당신은 결국 그 문장을 추론 할에서 "다음 그러나,

."? 나는 그 점으로 이어지는 논쟁을 볼 수 없다. 그것은 모순을 보여주는 데 필수적이다.

E V E N ⊨ \neg ϕ

$EVEN\vDash \neg\phi$

— magnattic

LTL 정의에 "다음"연산자가 포함 된 경우 다음이 적용됩니다. 두 개의 트레이스 세트 와 있습니다. 하자 에서 추적의 유한 접두사가 될 . 는 또한 에서 트레이스의 유한 접두사 여야합니다. 그렇지 않으면 차이를 감지하는 일련의 다음 연산자 인 수식으로 변환 할 수 있기 때문입니다. 따라서 워드 의 모든 유한 접두사 는 워드 의 유한 접두사 여야 하고 그 반대도 마찬가지입니다. 이것은 인 경우 모든 유한 접두사가 나타나지만 단어가 있어야 함을 의미합니다. $A$ $B$ $b$ $B$ $b$ $A$ $B$ $A$ $A \not= B$ $b$ $A$ 자체는 나타나지 않습니다. 유한전이 시스템에의해 와 가 생성되면이것이 불가능하다고 생각합니다. 무한 전이 시스템을 가정하면 다음을 정의 할 수 있습니다. $b$ $A$ $A$ $B$

및 여기서 는 예를 들어 무한 단어 입니다. $A = \{a,b\}^\omega$ $B = A \setminus \{w\}$ $w$ $aba^2b^2a^3b^3a^4b^4\cdots$

가 의 하위 집합 이기 때문에 보편적으로 보유되는 모든 LTL 수식 은 보편적으로 보유됩니다 . 를 유지 하는 모든 LTL 수식 도 유지합니다 . 모순을 위해서가 아니라 가정,하지만 모든 요소에 대해 보유하고 (즉 우주의 모든 요소는 단어에 대한 기대에 대한 )하지만하지 않는 . 그런 다음 는 에서 true로 평가 되지만 우주의 다른 단어에서는 그렇지 않으며 (LTL은 부정하에 닫힙니다.) 에만 적용 할 수있는 LTL 수식은 없습니다 $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$ $\varphi$ $B$ $w$ $w$ $\neg\varphi$ $w$ $w$ 무한 단어를 하나만 받아들이는 모든 Buchi 오토 마톤은 엄격하게 순환해야하지만 는 그렇지 않습니다. $w$

— antti.huima
소스

그것들은 유한 한 흔적입니다. 당신이 무한 트레이스로 연장 가정

끝에 화학식

번째 세트를 허용하지만, 제 거부.

a^{ω}

$a^\omega$

\neg (b \land X (b \land X G a))

$\neg (b\wedge X (b \wedge X G a))$

— Mark Reitblatt

당신이 맞습니다, 나는 새로운 대답을 썼습니다 :) LOL, 나는 이론적

— CSS

나는 이것이 트릭을 생각합니다.

— Dave Clarke

나는 그것이 작동한다고 생각합니다.

— Mark Reitblatt

이 답변은 만족스럽지 않습니다. OP는 전이 시스템을 요구했지만 그에 대한 답은 언어에 관한 것이며 Buchi automata 및

언어로 참조 할 수 있으며 이는 본문에 나와 있지 않습니다.

ω

$\omega$

— Mark Reitblatt