유형 제안입니까? (정확한 유형은 무엇입니까?)

나는 타입 시스템에 대해 많은 것을 읽었으며 Russel의 역설을 해결하기 위해 왜 그들이 도입되었는지 대략 이해합니다. 또한 프로그래밍 언어 및 증명 시스템과의 실질적인 관련성을 대략 이해합니다. 그러나 유형이 무엇인지에 대한 직관적 인 개념이 정확하다고 확신하지는 않습니다.

제 질문은 유형이 제안이라고 주장하는 것이 타당합니까?

다시 말해서, "n은 자연수"라는 표현은 "n은 자연수"를 갖는다 "는 자연수를 포함하는 모든 대수 법칙이 n을 유지한다는 것을 의미한다. (다른 방법으로, 대수 규칙은 진술입니다. 자연수에 해당되는 진술은 n에도 해당됩니다.)

그렇다면 이것은 수학 객체가 여러 유형을 가질 수 있다는 것을 의미합니까?

또한 모든 세트를 가질 수 없기 때문에 세트가 유형과 동일하지 않다는 것을 알고 있습니다. 집합 이 숫자 또는 함수 와 비슷한 수학적 객체 인 경우 유형 은 일종의 메타 수학적 객체이며 동일한 논리에 의해 종류 는 메타 메타 수학적 객체 라고 주장 할 수 있습니까? (모든 "메타"는 더 높은 추상화 수준을 나타냅니다.)

이것이 범주 이론과 어떤 관련이 있습니까?

유형의 주요 역할은 하나의 유니버스에있는 모든 것을 고려하지 않고 관심있는 개체를 다른 유니버스로 분할하는 것입니다. 원래 역설을 피하기 위해 유형이 고안되었지만 아시다시피 다른 많은 응용 프로그램이 있습니다. 유형은 객체를 분류하거나 계층화하는 방법을 제공합니다 ( 블로그 항목 참조 ).

일부는 제안이 유형 이라는 슬로건과 함께 작동 하므로 Steve Awodey와 Andrej Bauer의 [유형] 과 같은 제안 은 다른 유형, 즉 각 유형에 관련 제안이 있다고 주장 하지만 직감이 당신에게 확실히 도움이됩니다 . 유형은 계산 내용을 가지고 있지만 제안은 그렇지 않기 때문에 구별됩니다.

하위 유형 지정 및 유형 강제 변환 으로 인해 객체에 둘 이상의 유형이있을 수 있습니다 .

유형은 일반적으로 유형이 유형 유형의 역할을 수행하는 계층 구조로 구성되지만 유형이 메타 수학적이라고 말하는 것은 아닙니다. 모든 것이 같은 수준에서 진행되고 있습니다 . 이것은 특히 종속 유형을 다룰 때 특히 그렇습니다 .

유형과 범주 이론 사이에는 매우 강력한 연관성이 있습니다. 실제로 Lambek를 인용 한 Bob Harper는 논리, 언어 (유형이있는 곳) 및 범주가 삼위 일체를 형성한다고 말합니다 . 인용 :

이 세 가지 측면은 세 가지 종파를 낳는다. 논리는 증거와 명제에 우선권을 준다. 프로그램 및 유형에 우선 순위를 부여하는 언어; 맵핑 및 구조에 우선 순위를 부여하는 카테고리

당신은 봐야한다 커리 - 하워드의 대응 논리 및 프로그래밍 언어 (유형 명제이다) 사이의 링크를 볼 수 직교 닫힌 카테고리를 분류 이론과의 관계 사이를보고,.