동전 교환을위한 무증상

감안 으로 경화 교 및 균등 범위에 분포 된 난수 인 . 욕심 많은 알고리즘은이 분모 집합을 사용하여 최적의 변화를 생성하는 동전의 비율에 대해 무모하게? $n$ $c_1=1$ $c_2<c_3<..<c_{n}$ $[2,N]$

정답은 3 가지 교파 로 알려져있다 . 그러나 일반적인 경우는 어떻습니까?

ds.algorithms

— 가네쉬
소스

Thane Plambeck은 4 개의 교파에 대한 확률을 설정했으며, 3 명의 교파에 대한 확률에 대한 표현도 제공했습니다 (OP에서 제공하는 링크 참조). OP는이 확률의 점근 적 행동에 대해보다 일반적인 질문을하고 있습니다. 태그 비 점검을 사용하여 math.SE 및 MO에 더 적합 할 수 있습니다. @Ganesh : TCS 동기는 무엇입니까, 또는 ds.algorithms 태그의 이유는 무엇입니까?

— András Salamon

@ Andras, 이것은 매우 복잡한 이론 문제입니다. 예를 들어, 욕심 많은 접근 방식이 시간의 90 %를 말하는 최적의 솔루션을 얻는다면, 동적 프로그래밍을 잊고 나머지 10 %의 시간이 지나지 않는 최적의 솔루션에 정착 할 수 있습니다. 아마도 이것이 Math. *에서 더 적합 할 수도 있지만 동기는 TCS에 있습니다. 마지막으로 "올바른 태그"가 나를 피했습니다. 그래서 ds.algorithms가 가장 근사하다고 생각했습니다.

— Ganesh

이것은 대답이 아니지만 아마도 당신이나 다른 누군가를 올바른 방향으로 향하게 할 것입니다.

D. Kozen과 S. Zaks의 논문에서 "변화-제작 문제에 대한 최적의 경계" 라고 불리는 코인 변경 인스턴스의 욕심 많은 변화 결정 알고리즘이 최적 인 조건을 제시합니다. 나는 그들의 표기법을 사용할 것이다.

개의 별개의 코인 의 코인 변경 인스턴스가 주어지면 함수 있도록 변경을 필요로 동전의 최적의 개수를 나타내는 및 함수 에 대한 탐욕 만들기 바꾸어야 동전의 수를 나타내는 다음의 경우 , 범위의 반례가 있습니다. $m$
$(c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{m - 1}, c_{m})$ $( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$ $c_{1} = 1 < c_{2} < c_{3} < \dots < c_{m - 1} < c_{m}$ $c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$ $M(x)$ $x$ $G(x)$ $x$ $M(x) \ne G(x)$ $c_{3} + 1 < x < c_{m - 1} + c_{m}$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

그들은 계속해서

모든위한 경우 범위에서 후, (즉, 욕심 많은 알고리즘이 최적입니다). $x$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$
$G (x) \leq G (x - c) + 1$ $G(x) \le G(x-c) + 1$ $c \in (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m})$ $c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$ $G(x) = M(x)$

이것은 코인 변경 인스턴스가 탐욕 스러운지 아닌지를 결정하기위한 "효율적인"(의사 다항식 시간까지) 테스트를 제공합니다.

위를 사용하여 짧은 시뮬레이션을 실행했으며 그 결과는 아래 로그 로그 스케일로 표시됩니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

각 점은 표시된 대한 평균 10000 개의 인스턴스 작성을 나타내며 각 요소는 구별되지만 달리 균일하고 범위에서 무작위로 선택되었습니다 . $m$ $[1 \cdots N]$

우리가 최적 인 욕심 알고리즘의 확률을 알고있는 점을 감안 으로 간다 그냥 그래프를보고에서 나는이 위험을 무릅 것 욕심 많은 알고리즘이 최적 일 확률은 다음과 같습니다. $m=3$ $\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

p_{m} (N) \propto N^{- \frac{(m - 2)}{2}}

$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$

여기서 확률 의 범위에서 임의로 그린 구별 동전 (달리 '정규'라고도 함) 욕심 최적이다. $p_m(N)$ $m$ $N$

큰 한계에서, 욕심 많은 솔루션이 최적 일 확률은 사소한 값에 대해 빠르게 0으로 이동합니다 . 위의 방정식이 있으면 쉽게 볼 수 있지만 동일한 결론을내는 다른 방법이있을 수 있습니다. 예를 들어 Borgs, Chayes, Mertens 및 Nair의 Random Energy Model 작업을 보면 에너지가 바닥에서 들쭉날쭉하여 로컬 움직임 (예 : 탐욕스러운 움직임)이 최적의 솔루션을 제공 할 것으로 예상됩니다. 이것은 물론 숫자 분할 문제에 대한 것이며 명확한 대답이 아닌 직관을 제공하기 위해 제공됩니다. $m$ $N$

당신이 묻지 않은 질문에 대답 할 위험이 있기 때문에, "실제"코인 시스템은 코인 명칭에 대한 균일 한 분포를 따르지 않습니다. 예를 들어, 미국에는 12 개 이상의 교단 (청구서 포함 : )이 있으며 균일하게 분포되지 않은 것으로 보입니다. 아마도 코인 명칭을 생성하기 위해 다른 분포를 살펴보면 큰 시스템 한계에서 사소한 결과를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 전력 법 배포는 미국과 더 유사한 동전 명칭을 산출 할 수 있습니다. $(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$

— 사용자 834
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