그래프가 평면이되도록 별 그래프 사이의 가장자리 수를 제한

별 그래프로만 구성된 그래프 가 있습니다. 별 모양 그래프는 다른 모든 노드에 가장자리가있는 하나의 중앙 노드로 구성됩니다. 을 있는 서로 다른 크기의 별표 그래프라고 합시다 . 별표 중심에있는 모든 노드 세트를 호출합니다 .$G$$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

이제 이러한 스타 그래프가 다른 스타 그래프에 대한 에지를 구축하여 노드간에 에지가 발생하지 않는다고 가정하십시오 . 그런 다음, 얼마나 많은 가장자리에있는 노드 사이의 최대 존재 과에없는 노드 그래프가 평면을 유지하는 경우는?$R$$R$$R$

그런 가장자리의 수에 상한을 원합니다. 내가 염두에 두는 상한은 다음과 같습니다. 을 하나의 정점 세트이고 나머지 정점은 다른 세트 형성하는 이분 평면 그래프로 고려 하십시오 . 우리는이 세트들 사이의 경계에 관심이 있습니다 ( 과 ). 평면 이분자이므로 이러한 모서리의 수는 의 노드 수의 두 배로 제한됩니다 .$R$$A$$R$$A$$G$

내가 느끼는 것은 의 노드 두 배 에 의 노드 수에 더 나은 경계가 있다는 것 입니다.$A$$R$

내 직감을 반증 할 수 있다면 좋을 것입니다. 바라건대 여러분 중 일부는 관련 논증과 함께 좋은 바운드를 만들 수 있기를 바랍니다.

귀하의 진술은 약간 모호합니다. 먼저 "... $R$"이지만 다음 단락에서는 정점 사이에 모서리가 없음을 나타냅니다. $A$. 또한 별이 분리되어 있고 모든 별 (처음 별에있는 것 포함)을 세는 것으로 가정합니다. 또한 적어도 두 개의 별이 있고 그 중 적어도 하나는 학위를 가지고 있다고 가정 해 봅시다.$\ge 2$.

이 경우에는 $2N-4$ 바운드 ($N$= 모든 정점의 수). 약간 다른 시나리오를 고려하십시오.$N$정점, 일부는 약간 검은 색, 적어도 두 종류는 있습니다. 각 단계에서 교차점을 만들거나 모서리를 복제하지 않는 한 빨간색과 검은 색 정점 사이에 모서리를 임의로 추가합니다. 나는 당신이 붙어있을 때, 모든주기는 길이가 있다고 주장$4$.

시나리오는 먼저 별을 만든 다음 나중에 나머지 가장자리를 추가하여 시작하는이 프로세스의 특별한 경우입니다. 모든 사이클의 길이가$4$, $2N-4$바운드는 다음과 같습니다. 더 일반적으로, 그것은 당신이 어떤 이분 그래프를 시작하든, 항상 그것을 사변형 (내가 만든 단어) 그래프로 완성 할 수 있음을 보여줍니다.

이제 주장을 보여 드리겠습니다. 이 과정에서 모든 경로는 번갈아가는 검은 색과 빨간색 정점을 가지며 각주기의 길이는 최소한$4$. 그래프가 연결되어 있지 않으면 한 구성 요소의 외부면에있는 빨간색 정점을 다른 구성 요소의 다른면에있는 검은 정점과 연결할 수 있습니다. 그래프가 이미 연결되어 있다고 가정 할 수 있습니다.

얼굴이 있다고 가정 $F$ 길이의 $6$ 이상. $F$최소한 3 개의 검은 꼭짓점이 있어야합니다 (일부는 동일 할 수 있음). 정점이$x$ ~에 반복된다 $F$시계 방향으로 두 번 연속으로 나타납니다. $x$말하다 $x-a-...-x-b...$. $F$ 검은 꼭짓점을 포함해야합니다 $z\neq x$따라서 위치에 따라 $z$, 우리는 둘 중 하나를 연결할 수 있습니다 $a$ 또는 $b$ 에 $z$ 내부 $F$가장자리를 복제하지 않고. 정점이 반복되지 않으면 시계 방향 섹션을 선택하십시오.$x-a-y-b-z$ 의 $F$, 어디 $x,y,z$ 검은 색 $a,b$빨간색입니다. 만약$x$ 에 연결되어있다 $b$ 그때 $a$ 연결할 수 없습니다 $z$ (평면도에 따라) 모서리 중 하나를 추가 할 수 있습니다 $(x,b)$, $(a,z)$ 내부 $F$.