건설적인 미터법 공간에 대한 고정 소수점 정리?

Banach의 고정 소수점 정리는 비어 있지 않은 완전한 미터법 공간 있으면 균일하게 수축하는 함수 는 고유 한 고정 소수점 갖습니다 . 그러나,이 정리의 증거는 선택의 공리가 필요합니다. 우리는 에서 반복을 시작하기 위해 임의의 요소 를 선택해야 합니다. Cauchy 시퀀스 입니다. $A$ $f : A \to A$ $\mu(f)$ $a \in A$ $f$ $a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

고정 소수점 정리는 건설적인 분석에서 어떻게 언급됩니까?
또한 구성 메트릭스 공간에 대한 간결한 참조가 있습니까?

내가 묻는 이유는 유형이 추가로 메트릭 구조 (다른 것들 중에서도)를 전달하는 시스템 F 모델을 구성하고 싶기 때문입니다. 건설적인 집합 이론에서 가 제품군, 지수 및 색인 패밀리 로 닫히 도록 시스템 세트 요리 할 수 있어 시스템 F 모델을 쉽게 제공 할 수 있습니다. $U$ $U$ $U$

비슷한 구조의 초음파 공간을 요리 할 수 있다면 매우 좋을 것입니다. 그러나 건설적인 이론에 선택을 추가하면 고전이되기 때문에 분명히 고정 소수점 이론과 다른 것들에 대해 더 조심해야합니다.

— 닐 크리슈나 스와미
소스

가설을 거주 집합 인

A

$A$ 로 변경할 수 있습니다 . 당신은

를 고르기

선택한 공리를 요구하지 않습니다 .

a \in A

$a\in A$

— Colin McQuillan

선택의 공리는 "사물" 모음 이 있고 각 "사물"에 대해 하나의 요소를 선택할 때 사용됩니다 . 컬렉션에 한 가지만 있다면 그것은 선택의 공리가 아닙니다. 우리의 경우에는 하나의 메트릭 공간 만 있고 그 지점을 "선택"하고 있습니다. 그래서 그것은 선택의 공리가 아니라 실존 적 정량 제거하는 것입니다. 즉, 우리는 가설 $\exists x \in A . \phi(x)$ 라고 말하고 " $x \in A$ 를 와 하자"라고 말합니다 $\phi(x)$ . 불행히도 사람들은 종종 " $x \in A$ $\phi(x)$ ", 그러면 선택한 공리를 적용한 것처럼 보입니다.

참고로 다음은 Banach의 고정 소수점 정리에 대한 건설적인 증거입니다.

정리 : 사람이 거주하는 완전한 미터법 공간의 수축에는 고유 한 고정 점이 있습니다.

증명. 가정 하는 거주 전체 거리 공간 및 수축된다. 때문에 수축이 존재 되도록 및 모두를위한 $(M,d)$ $f : M \to M$ $f$ $\alpha$ $0 < \alpha < 1$ $d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$ $x, y \in M$ .

와 가 고정 점 이라고 가정합니다 . 그런 다음 에서 $u$ $v$ $f$

d (u, v) = d (f (u), f (v)) \leq α d (u, v)

$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$

이므로

및

입니다. 이것은

에 최대 하나의 고정 점이있음을 증명합니다.

0 \leq d (u, v) \leq (α - 1) d (u, v) \leq 0

$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$

d (u, v) = 0

$d(u,v) = 0$

u = v

$u = v$

f

$f$

고정 된 점이 있음을 증명해야합니다. 이 거주 하기 때문에 이 존재합니다 . 시퀀스 재귀 적으로 정의합니다 우리는 유도에 의해 입증 할 수 . 이것에서 그것은 다음과 같습니다 $M$ $x_0 \in M$ $(x_i)$

x_{i + 1} = f (x_{i}) .

$x_{i+1} = f(x_i).$

d (x_{i}, x_{i + 1}) \leq α^{i} \cdot d (x_{0}, x_{1})

$d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$

는 코시 시퀀스입니다.

이 완료되었으므로시퀀스의 한계는

입니다. 는 수축이기 때문에균일하고 연속적이므로 시퀀스의 한계로 출퇴근합니다. 따라서는의 고정 점입니다. QED

(x_{i})

$(x_i)$

M

$M$

y = lim_{i} x_{i}

$y = \lim_i x_i$

f

$f$

f (y) = f (lim_{i} x_{i}) = lim_{i} f (x_{i}) = lim_{i} x_{i + 1} = lim_{i} x_{i} = y .

$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$

y

$y$

f

$f$

비고 :

" 선택"을 말하지 않도록주의 $\alpha$ $x_0$
$u$ $v$ $f$ $\lnot\lnot (u = v)$ $u = v$
$(x_i)$ $x_0$ $\exists x \in M . \top$ $x_0$ $M$
$M$ $\exists x \in M . \top$ $M$ $\lnot\forall x \in M . \bot$
$\mathrm{fix}_M$ $M$ $M$ $\forall\exists$
마지막으로, 다음 고정 소수점 정리는 구성 버전을 갖습니다.
- 완전한 격자에 대한 모노톤 맵에 대한 Knaster-Tarski 고정 소수점 정리
- 완전한 미터법 공간에서의 수축에 대한 Banach의 고정 소수점 정리
- dcpos의 모노톤 맵에 대한 Knaster-Tarski 고정 소수점 정리 (파타 라이아 제공)
- 도메인 이론의 다양한 고정 소수점 정리는 일반적으로 건설적인 증거를 가지고 있습니다.
- 재귀 정리는 고정 소수점 정리의 한 형태이며 건설적인 증거가 있습니다.
- 체인 완성 포셋의 모노톤 맵에 대한 Knaster-Tarski 고정 소수점 정리 는 건설적인 증거 가 없음 을 증명했습니다. 마찬가지로, 체인 완성 포셋의 프로그레시브 맵에 대한 Bourbaki-Witt 고정 소수점 정리는 건설적으로 실패합니다. 후자에 대한 반례는 효과적인 토포에서 나옵니다. 유효 토포 서수 (적절하게 정의 된)에서 세트를 형성하고 후속 맵은 점진적이고 고정 점이 없습니다. 그건 그렇고, 서수의 후속 맵 은 효과적인 토포스에서 모노톤 이 아닙니다 .

이제는 요청한 것보다 더 많은 정보입니다.

— 안드레이 바우어
소스

미터법 공간의 공리를 재구성해야합니까?

— Neel Krishnaswami

이것은 또 다른 좋은 대답입니다. Andrej!

— Suresh Venkat

@Neel : 아니요, 공리는 고전적인 경우와 동일합니다.

— Andrej Bauer

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x = λ M . λ f . f ({f i x}_{M} (f))

$\mathrm{fix} = \lambda M . \lambda f . f(\mathrm{fix}_M(f))$

M

$M$

f

$f$

M

$M$

M

$M$