안정적인 힙이 있습니까?

다음 작업을 지원하는 우선 순위 대기열 데이터 구조가 있습니까?

• 삽입 (x, p) : 우선 순위 p로 새 레코드 x 추가
• StableExtractMin () : 우선 순위가 가장 낮은 레코드를 반환 순서대로 삭제하고 삭제합니다 .

따라서 Insert (a, 1), Insert (b, 2), Insert (c, 1), Insert (d, 2) 후에 StableExtractMin의 시퀀스는 a, c, b, d를 반환합니다.

분명히 한 사용할 수 있는 한 쌍의 저장함으로써 우선 순위 큐의 데이터 구조 실제 우선 순위 등을,하지만 않는 데이터 구조에 관심이 없는 유사한 방법에 의해 명시 적으로 삽입 시간 (또는 신청서)를 저장 안정적인 정렬.$(p, time)$

동등하게 (?) : 추가 공간이 필요없는 안정적인 버전의 힙 정렬이 있습니까?$\Omega(n)$

Bently-Saxe 방법은 상당히 자연스러운 안정적인 우선 순위 대기열을 제공합니다.

일련의 정렬 된 배열 데이터를 저장하십시오 . 나 사이즈 갖는 2 I를 . 각 배열은 카운터 c i 도 유지합니다 . 배열 항목 A i [ c i ] , … , A i [ 2 i - 1 ] 에는 데이터가 포함됩니다.$A_0,\ldots,A_k$$A_i$$2^i$$c_i$$A_i[c_i],\ldots,A_i[2^i-1]$

각 , 모든 요소 A는 제가 최근에 비해 첨가 I + 1 각 내 I의 요소와의 관계 값에 의해 정렬을 새로운 요소에 앞서 이전 요소를 배치하여 세분화된다. 이는 A i 와 A i + 1을 병합 하고이 순서를 유지할 수 있음을 의미 합니다. (병합 중 타이의 경우 A i + 1 에서 요소를 가져옵니다 .)$i$$A_i$$A_{i+1}$$A_i$$A_i$$A_{i+1}$$A_{i+1}$

값 인서트 , 작은 찾을 내가 되도록 A가 나는 0 요소 병합 포함 0 , ... , A는 I - 1 및 X는 ,이 저장 I 와 세트 c를 0 , ... , c를 내가 적절.$x$$i$$A_i$$A_0,\ldots,A_{i-1}$$x$$A_i$$c_0,\ldots,c_i$

최소값을 추출하려면 A i [ c i ] 의 첫 번째 요소가 모든 i 보다 최소 이고 c i가 증가 하도록 가장 큰 인덱스 찾으십시오 .$i$$A_i[c_i]$$i$$c_i$

표준 인수에 따르면, 이는 작업 당 상각 시간을 제공하며 위에서 설명한 순서로 인해 안정적입니다.$O(\log n)$

일련의 삽입 및 추출의 경우 n 배열 항목 (빈 배열을 유지하지 않음)과 부기 데이터의 O ( log n ) 단어를 사용합니다. Mihai의 질문에 대한 대답은 아니지만 안정적인 제약 조건에 많은 공간 오버 헤드가 필요하지 않음을 보여줍니다. 특히 필요한 여분의 공간에 Ω ( n ) 하한 이 없음을 나타냅니다 .$n$$n$$O(\log n)$$\Omega(n)$

업데이트 : Rolf Fagerberg는 null (데이터가 아닌) 값을 저장할 수 있으면이 전체 데이터 구조를 크기가 배열로 압축 할 수 있다고 지적합니다 . 여기서 n 은 삽입 횟수입니다.$n$$n$

먼저 을 순서대로 배열에 넣을 수 있습니다 ( A k가 먼저이고 비어 있지 않은 경우 A k - 1이 오는 식 으로). 이것의 구조는 지금까지 삽입 된 요소의 수 인 n 의 이진 표현으로 완전히 인코딩됩니다 . 이진 표현의 경우 , n은 위치 1 갖는 난을 다음 제가 차지하는 2 I , 배열 위치를, 그렇지 않으면 어떠한 배열 위치를 차지할 것이다.$A_k,\ldots,A_0$$A_k$$A_{k-1}$$n$$n$$i$$A_i$$2^i$

과 배열의 길이를 삽입 할 때 1 씩 증가 하면 기존의 내부 안정 병합 알고리즘을 사용하여 A 0 , … , A i 와 새로운 요소를 병합 할 수 있습니다.$n$$A_0,\ldots,A_i$

이제 null 값을 사용하는 위치는 카운터 제거하는 것입니다 . 에서는 난 , 우리는 먼저 다음 값 저장 C 나 잔존 하였다 널 값, (2) I - c를 I - 1 개 값. 추출-분 동안 A 0 [ 0 ] , … , A k [ 0 ] 을 검사 하여 O ( log n ) 시간으로 추출 할 값을 여전히 찾을 수 있습니다 . A i [ 0 에서이 값을 찾으면$c_i$$A_i$$c_i$$2^i-c_i-1$$O(\log n)$$A_0[0],\ldots,A_k[0]$A i [ 0 ] 을 null로설정 한 다음 A i 에서이진 검색을 수행하여 null이아닌 첫 번째 값 A i [ c i ] 를 찾은 다음 A i [ 0 ] 및 A i [ c i ]를 교체합니다.$A_i[0]$$A_i[0]$$A_i$$A_i[c_i]$$A_i[0]$$A_i[c_i]$

최종 결과 : 전체 구조는 각 삽입마다 길이가 증가하는 하나의 배열과 삽입 수를 계산하는 하나의 카운터 으로 구현할 수 있습니다 .$n$

당신의 제약이 무엇인지 잘 모르겠습니다. 다음은 자격이 있습니까? 데이터를 배열에 저장합니다. 우리는 이진 힙과 같은 암시 적 이진 트리로 해석하지만 내부 노드가 아닌 트리의 맨 아래에 데이터 항목이 있습니다. 트리의 각 내부 노드는 두 자식에서 복사 된 작은 값을 저장합니다. 관계가있는 경우 왼쪽 아이를 복사하십시오.

최소값을 찾으려면 트리의 루트를보십시오.

요소를 삭제하려면 요소를 삭제됨 (지연 삭제)으로 표시하고 트리를 전파하십시오 (삭제 된 요소의 사본을 보유한 루트 경로의 각 노드는 다른 하위의 사본으로 대체되어야 함). 삭제 된 요소의 수를 유지하고 모든 요소의 일부가 너무 많으면 맨 아래 레벨에서 요소의 순서를 유지하면서 구조를 다시 작성하십시오. 다시 작성하는 데는 선형 시간이 걸리므로이 부분은 일정한 상각 시간 만 추가합니다. 작업 복잡성.

요소를 삽입하려면 트리 맨 아래 행의 다음 빈 위치에 요소를 추가하고 루트 경로를 업데이트하십시오. 또는 맨 아래 행이 가득 차면 트리 크기를 두 배로 늘립니다 (할부 상환 인수와 함께이 부분은 표준 이진 힙이 배열을 초과 할 때 다시 빌드해야 할 필요성과 다르지 않습니다).

그러나 삭제를 처리하는 데 드는 공간 비용을 게으르게 무시하더라도 실제 암시 적 데이터 구조보다 두 배의 메모리를 사용하기 때문에 Mihai의 더 엄격한 버전의 질문에 대한 대답은 아닙니다.

다음은 문제를 올바르게 해석 한 것입니다.

지원할 수있는 보조 정보없이 N [1..N] 배열에 N 키를 저장해야합니다. * 삽입 키 * 삭제 최소.

대부분의 암시 적 데이터 구조가 일부 요소의 로컬 순서에서 비트를 인코딩하는 트릭을 수행한다는 점을 감안하면 상당히 어려워 보입니다. 여기서 여러 사람이 동일하면 순서를 유지해야하므로 그러한 트릭은 불가능합니다.

흥미 롭군

짧은 대답 : 당신은 할 수 없습니다.

약간 더 긴 답변 :

동일한 우선 순위를 구별 할 수 있도록 항목의 "나이"를 저장 하려면 추가 공간 이 필요합니다 . 그리고 빠른 삽입과 검색이 가능한 정보를 위해서는 Ω ( n ) 공간 이 필요 합니다. 또한 페이로드 (값 및 우선 순위).$\Omega(n)$$\Omega(n)$

그리고, 당신은 저장 각 페이로드를 들어, 주소의 일부 정보 (예 : "숨기기"를 할 수 있습니다 D D R ( X ) < D D R ( Y가 ) Y가 X보다 나이가 의미). 그러나 "숨겨진"정보에서 "나이"또는 "빠른 검색"정보를 숨길 수 있습니다. 둘 다 아닙니다.$addr(X) < addr(Y)$

정확하지 않은 색다른 의사 수학으로 매우 긴 대답 :

참고 : 언급 한 것처럼 두 번째 부분의 끝은 스케치입니다. 일부 수학자가 더 나은 버전을 제공 할 수 있다면 감사 할 것입니다.

레코드 (값 및 우선 순위) 기계 단어가 있는 X 비트 기계 (32 또는 64 비트)에 관련된 데이터의 양에 대해 생각해 봅시다 .$P$

및 ( a , 1 ) = ( a , 1 ) 과 부분적으로 정렬 된 잠재적 인 레코드 세트가 있지만 ( a , 1 ) 및 ( b , 1 ) .$(a,1) < (a,2)$$(a,1) = (a,1)$$(a,1)$$(b,1)$

그러나 삽입 된 시간을 기준으로 레코드 세트에서 비교할 수없는 두 값을 비교할 수 있습니다. 따라서 여기에 또 다른 값 세트가 있습니다. 삽입 된 값이며 부분 순서로 값을 향상 시키려고합니다 . iff X 가 Y 앞에 삽입되었습니다 .$X < Y$$X$$Y$

최악의 경우, 메모리는 형태의 기록으로 채워집니다 (와 ? 각각에 대해 서로 다른), 하나가 간다 결정하기 위해 삽입 시간에 전적으로 의존해야하므로 먼저.$(?,1)$$?$

• $X - log_2(P)$$2^X$
• $P$

$X - log_2(P)$$O(n)$$n$

이제 각 메모리 "셀"은 몇 비트의 정보를 제공합니까?

• $W$$W$
• $X$

$P \geq 1$$X - log_2(P) < X$

따라서 모든 정보를 저장하려면 두 가지 가능성이 있습니다.

• 삽입 순서를 주소에, 페이로드를 메모리에 저장하십시오.
• 둘 다 메모리에 저장하고 다른 용도로는 주소를 비워 두십시오.

분명히 낭비를 피하기 위해 첫 번째 솔루션을 사용합니다.

이제 작업합니다. 나는 당신이 갖고 싶다고 생각합니다 :

• $Insert(task, priority)$$O(log n)$
• $StableExtractMin()$$O(log n)$

$StableExtractMin()$

정말 일반적인 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. $O(log n)$
2. $O(log n)$
3. 반환.

$0(1)$$O(1)$$O(1)$

$O(log n)$$2^(X - log_2(P))$

$X - log_2(P)$$O(log n)$$O(log n)$

$O(log n)$

$O(log n)$$X - log_2(P)$

$O(log n)$

$X - log_2(P)$$O(log n)$

삽입 알고리즘은 일반적 으로이 정보의 일부만 업데이트하면됩니다. 성능이 빠르기 위해서는 더 많은 메모리가 필요하다고 생각하지 않습니다.

$X - log_2(P)$

• $X - log_2(P)$
• $P$
• $X - log_2(P)$

$\Omega(n)$

우선 순위 대기열을 균형 이진 트리 (일반적인 선택)로 구현하는 경우 요소를 트리에 추가 할 때 우선 순위가 동일한 모든 요소의 왼쪽에 삽입되어야합니다.
이런 식으로 삽입 순서는 트리 자체의 구조로 인코딩됩니다.

나는 그것이 가능하지 않다고 생각한다

구체적인 경우 :

       x
    x    x
  x  x  1  x
1  x  

모든 x> 1의 최소 힙

힙화는 결국 뭔가를 선택할 것입니다.

       x
    1    1
  x  x  x  x
x  x  

이제 어느 1이 루트로 전파됩니까?