P의 PLANAR NAE k-SAT는 어느 것입니까?

부울 변수 의 집합 에 대해 일련의 절 를 고려할 때 모두 같지 않음 -SAT 문제 (NAE -SAT) 는 각 절에 최대 리터럴이 포함 되도록 변수의 실제 할당이 있는지 묻습니다. 각 절에는 하나 이상의 true 및 하나 이상의 false 리터럴이 포함됩니다.$k$$k$$C$$X$$k$

PLANAR NAE -SAT 문제는 NAE -SAT가 와 의 입사 이분 그래프 (예 : 와 사이의 모서리를 갖는 부분 와 의 그래프) 인 경우로 제한됩니다. 또는 이 속하는 경우에만 평면입니다.$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

NAE 3-SAT는 NP-complete (Garey and Johnson, Computers and Intractability; A-Completeness The Guide to NP-Completeness)로 알려져 있지만, PLANAR NAE 3-SAT는 P에 있습니다 ( Planar NAE3SAT는 P, B 참조) Moret, ACM SIGACT News, Volume 19 Issue 2, 1988 년 여름 – 불행히도 나는이 문서에 접근 할 수 없다.

일부 PLANAR NAE -SAT는 P 입니까? NP- 완료로 표시된 값이 있습니까?k k ≥ 4 $k$$k\geq 4$$k$

PLANAR NAE k -SAT는 모든 k 값에 대해 P입니다 .$k$$k$

PLANAR NAE k -SAT를 PLANAR NAE 3 -SAT 로 줄일 수 있기 때문입니다. 하자 φ PLANAR NAE의 인스턴스 K -sat 및 가정 φ이 조항의 포함 C 리터럴로 ℓ 1 , ℓ 2 , ... , ℓ의 케이 . 새로운 변수 도입 브이 C를 , 대체 및 C를 두 개의 NAE 조항으로 C 1 과 C 2 . C 1 은 3 개의 리터럴 ℓ 1 , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$및 V C 반면, C 2 포함 K - 1 리터 ˉ 브이 C , ℓ (3) , ℓ (4) , ... , ℓ의 K . C 1 ∧ C 2 이면 C 가 만족스럽고 변환이 평면성을 유지한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 . 이제, 원하는대로 NAE 3 -SAT 의 인스턴스 ϕ ' 를 얻기 위해이 절에이 절차를 반복해서 적용 할 수 있습니다 .$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$