뚱뚱한 것들의 교차점을 통한 평면 그래프?

Koebe의 아름다운 정리 ( 여기 참조 )는 평면 그래프를 디스크의 키스 그래프 (매우 낭만적 인 ...)로 그릴 수 있다고 언급합니다. (약간 다르게, 평면 그래프는 디스크의 교차 그래프로 그릴 수 있습니다.)

Koebe 정리는 증명하기가 쉽지 않습니다. 내 질문 : 디스크 대신 지방 볼록한 모양을 사용할 수있는이 정리의 쉬운 버전이 있습니까? 모든 정점은 다른 모양이 될 수 있습니다.

감사...

해설 : 형상 들어 ,하자 의 작은 클로징 공의 반경이 될 및하자 날 최대 봉입 공의 반경하자 . 인 경우 모양 는 -fat 입니다. (BTW는 비만에 대한 유일한 정의는 아닙니다.)$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

뚱뚱한 물체가 2 차원 적이어야한다고 말하지 않았습니까? Felsner와 Francis는 3D 축 평행 큐브로 항상 가능하다는 것을 증명합니다 . 그러나 그 증거는 Schramm의 Koebe-Thurston-Andreev의 일반화와 관련이 있기 때문에 더 간단한 결과는 아닙니다. 또한 4 개의 연결된 최대 평면형 그래프의 경우 평행 한 정삼각형을 사용할 수 있다고 언급합니다.

삼각형을 사용하면 가능합니다. 그래도 Koebe보다 쉽지 않을 것입니다 ...

드 Fraisseix, Ossona de Mendez 및 Rosenstiehl. 삼각형 접촉 그래프. CPC 3 (2) : 233-246, 1994.

Schramm은 모든 평면 그래프가 Brouwer 's Fixed Point Theorem을 사용하여 PhD 논문 (Princeton, 1990) 에서 평면의 일부 부드러운 볼록한 물체의 접촉 그래프임을 증명했습니다 .

Koebe의 정리와 관련된이 결과 및 기타 결과에 대한 훌륭한 조사는 Sachs의 조사에서 이루어집니다 .

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접촉 그래프 표현에 관한 Duncan, Gansner, Hu, Kaufman 및 Kobourov의 arxiv에 관한 새로운 논문 이 있습니다 . 그들은 6면 다각형이 필요하고 충분하다는 것을 보여줍니다. 육각형은 볼록 할 수 있지만 처음으로 뚱뚱한 지 여부는 명확하지 않았습니다.

그의 박사 학위 논문 에서 Gerd Wegner (1967 년 괴팅겐, 괴팅겐, Georg-August-Universität)는 모든 그래프가 3 차원 볼록 폴리 토프 세트의 접촉 그래프라는 것을 증명했다. 이것은 짧은 증거입니다.