양자와 결정 론적 쿼리 복잡성 사이의 격차 해소

경계 오류 양자 쿼리 복잡성 ( $Q(f)$ )과 결정 론적 쿼리 복잡성 ( $D(f)$ ) 또는 경계 오류 무작위 쿼리 복잡성 ( $R(f)$ ) 사이의 지수 적 분리 는 알려져 있지만 특정 부분 함수에만 적용됩니다. 부분 함수에 특별한 구조 가있는 경우 와 다항식으로 관련됩니다 $D(f) = O(Q(f)^9))$. 그러나 나는 주로 총 기능에 대해 걱정하고 있습니다.

A의 고전 용지 는 것으로 나타났다 $D(f)$ 에 의해 제한되는 $O(Q(f)^6)$ 전체 기능, $O(Q(f)^4)$ 단조 총 기능, 및 $O(Q(f)^2)$ 에 대한 대칭 총 기능. 그러나, 이러한 종류의 기능에 대해서는 2 차 분리보다 크지 않습니다 (이 분리는 $OR$예를 들어). 내가 아는 한, 대부분의 사람들은 전체 기능에 대해 우리가 가지고 있다고 추측합니다 $D(f) = O(Q(f)^2)$. 이 조건은 어떤 조건 하에서 증명 되었습니까 (대칭 기능 제외)? 총 함수에 대한 양자 쿼리 복잡성 측면에서 의사 결정 트리 복잡성에 대한 현재의 최대 한계는 무엇입니까?

$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

$n$$\Omega(\sqrt{n})$

이러한 진행은 제한되었지만 특정 함수 의 양자 쿼리 복잡도를 낮추는 데 상당한 진전이있었습니다 . 자세한 내용은 이 검토 를 참조하십시오 (예 : 가장 최근 의``적대적 ''경계의 버전은 양자 쿼리 복잡성을 특징으로한다는 Reichardt의 최신 논문 ).

나는 Ashley Montanaro의 대답을 좋아하지만 추측이 알려진 일련의 기능도 포함 할 것이라고 생각했습니다.

$OR$

$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

세부:

$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

임을 보여줄 수 있습니다 . 그런 다음 Buhrman 및 de Wolf의 설문 조사 에 제시된 알고리즘을 사용하여 다음을 표시 할 수 있습니다 .$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

그래프 속성에 대한주의를 제한하면 언급 한 일반 범위와 비교하여 약간 개선 된 범위를 증명할 수 있습니다.

A의 고전 용지 는 것으로 나타났다 의해 제한되는 전체 기능, 단조 총 기능 및 대칭 총 기능.$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

먼저 그래프 속성의 6 제곱을 4 제곱으로 향상시킬 수 있다고 생각합니다. 이것은 [1]에서 나옵니다. 여기서 그래프 속성은 적어도 쿼리 복잡성을 가짐을 나타냅니다. 여기서 은 입력 크기이며 정점 수에 2 차입니다. 물론 고전적인 쿼리 복잡도는 최대 입니다.$\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

모노톤 총계 함수에 대한 제 4 파워 바운드는 모노톤 그래프 속성에 대한 제 3 파워로 향상 될 수 있습니다. 이것은 모든 모노톤 그래프 속성이 양자 질의 복잡성 갖는 야오와 산타에 대한 미공개 관찰 ([2]에서 언급 것이다.$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X .; 야오, AC .; Shengyu Zhang, "그래프 속성 및 순환 함수 : 양자 쿼리 복잡성이 얼마나 낮아질 수 있습니까?", Computational Complexity, 2004. 2004 년 6 월 21-24 일, vol., no., pp.286,293에서 19 번째 IEEE Annual Conference doi : 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, 프레데릭; 산타, 미클로스; Szegedy, Mario (2005), "삼각형 문제에 대한 양자 알고리즘", 브리티시 컬럼비아 밴쿠버, 이산 알고리즘에 관한 16 번째 연례 ACM-SIAM 심포지엄 : 산업 및 응용 수학 학회, pp. 1109–1117, arXiv : quant -ph / 0310134.

2015 년에이 질문에 많은 진전이있었습니다.

먼저 arXiv : 1506.04719 [cs.CC] 에서 저자는 총 함수 를$f$

한편, arXiv : 1512.04016 [quant-ph]에서 , 함수 영역이 매우 작을 때 양자 쿼리와 결정 론적 쿼리 복잡성 사이의 2 차 관계가 유지되는 것으로 나타났다.