m >> n 체제에서 공과 빈 분석.

n 개의 볼을 n 개의 빈으로 던지면 가장 많이 적재 된 빈에 $O(\log n)$ 볼 이있을 가능성이 높습니다 . 일반적으로, 빈 에서 공에 대해 물을 수 있습니다 . Raab과 Steger의 RANDOM 1998의 논문은 증가 시키면 의 예상 값보다 조금 더 높아질 확률 이 급격히 감소 함을 보여 주면서이를 자세히 조사합니다 . 대략적으로 설정 하면 이상을 볼 확률 이 임을 나타 냅니다.$m > n$$n$$m$$m/n$$r = m/n$$r + \sqrt{r\log n}$$o(1)$

이 논문은 1998 년에 발표되었으며 최근에는 더 이상 아무것도 찾지 못했습니다. 이 라인을 따라 새롭고 더 집중된 결과가 있습니까, 아니면 이것이 최고의 결과라고 생각할 수있는 휴리스틱 / 공식적인 이유가 있습니까? 나는 2006 년 Angelika Steger가 공동 저술 한 객관식 변형에 관한 관련 논문이 최근의 논문을 인용하지 않았다고 덧붙여 야한다 .

업데이트 : Peter의 의견에 따라, 내가 알고 싶은 사항을 명확히하겠습니다. 나는 두 가지 목표가 있습니다.

1. 첫째, 나는 인용에 대한 어떤 언급을 알아야하며, 이것이 이것에 대한 가장 최근의 작업 인 것 같습니다.
2. 둘째, 결과는 r = 1 범위에서 매우 빡빡합니다. m >> n 범위, 특히 r이 poly log n 또는 n ^ c 일 수있는 영역에 관심이 있습니다. 나는이 결과를 내가 증명하고있는 정리에 슬롯하려고 노력하고 있으며 r의 특정 경계는 전체 알고리즘의 다른 부분을 제어합니다. 이 백서에서 제공하는 r의 범위가 충분할 것이라고 생각하지만 확실하지는 않지만 더 엄격한 결과가 없는지 확인하고 싶었습니다.

실제로 완전한 답변 (유용한 참고 자료는 아님)이 아니라 확장 된 주석입니다. 어떤 빈에 대해서 빈에 정확히 볼이있을 확률은 p B = ($B$. Sondow로 인해 불평등을 사용할 수 있습니다.((b+1)$p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$,pb<((r+1)r+$\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$, 여기서r=$p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$. 이 한계는 a ( (b+1)$r=\frac{m}{B}-1$.$\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

따라서, 우리가 가진 . 이제 빈에서 B 개 이상의 볼 을 찾을 확률에 관심이 있으므로 p ≥ B = ∑ m b = B p b$p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$$B$ . 항을 재정렬하면 p ≥ B < e − m ln $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

$$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$$

위의 요약은 단순히 기하학적 인 시리즈이므로 을 제공하도록 단순화 할 수 있습니다

$$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$$ If we rewrite $\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$ terms using exponentials, we get $$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$$ which then becomes $$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$$

Now, I take it you care about finding some $B$ such that $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ for some constant $C$, since this gives the total probability of any bin having $B$ or more balls as bounded from above by $C$. This criteria is satisfied by taking

$$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$$ which can be rewritten as $$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$$

I'm not entirely sure how useful this comment will be to you (it's entirely possible I've made a mistake somewhere), but hopefully it can be of some use.