매트릭스 충전의 용해성

행렬 차원은 입니다. 과 사이의 정수를 사용하여 를 채우고 싶습니다 . $A$ $n \times n(n-1)$ $A$ $1$ $n$

요구 사항 :

각 열은 의 순열입니다 . $A$ $1, \dots, n$
두 행으로 구성된 하위 행렬 은 동일한 열을 가질 수 없습니다. $A$

질문:

요구 사항을 충족하는 매트릭스를 채울 수 있습니까?

암호화와의 관계 :

각 행 번호는 일반 텍스트에 해당합니다. 각 열은 키에 해당합니다. 키가 주입을 정의하므로 각 열은 순열이어야합니다. 두 번째 요구 사항은 두 메시지에 대한 완벽한 보안입니다.

co.combinatorics cr.crypto-security coding-theory

— 사이커
소스

cr.crypto-security로 태그를 지정 했으므로 암호화 / 보안과의 관계를 설명 할 수 있으면 질문이 개선됩니다.

— Dave Clarke

간단한 관측 : 이러한 행렬은 n≤4에 존재합니다. n≤3의 경우 모든 순열을 취하십시오. n = 4의 경우 유일한 해는 모든 짝수 순열 또는 모든 홀수 순열을 취하는 것입니다.

— 이토 쓰요시 11

고마워요, 이토 실제로 나는 손으로 때 답을 . 그러나

때 상황이 훨씬 더 어려워 집니다. 지수 폭발이 발생합니다.

n \leq 4

$n \leq 4$

n \geq 5

$n \geq 5$

— Cyker

(1) 문제는 코딩 이론과 관련이 있으며 태그로 추가했다고 생각합니다. (2) 다른 관찰 : 문제는 다음과 같이 언급 될 수 있습니다. B의 첫 번째 n 개의 열 각각이 같은 수의 n 반복이고 B가 문제의 조건 2를 만족하도록 크기 nx (n ^ 2)의 행렬 B를 찾습니다. 그러한 B가 존재하면, B의 마지막 n (n-1) 열 각각은 순열이어야합니다. 반대로, 조건 1과 조건 2를 만족하는 행렬 A는 A의 왼쪽에 n 개의 명시된 열을 첨부하여 행렬 B로 변환 할 수 있습니다.

— Tsuyoshi Ito

답변:

당신의 의견에 큰 관찰! 나는 이것이 거의 문제를 해결한다고 생각한다.

다음 두 가지 질문을 고려하십시오

길이 의 행 이 존재 하여 어떤 열에도 숫자가 두 번 나타나지 않으며 각 행 쌍에 대해 열에 의해 주어진 모든 정렬 된 쌍이 고유합니까? $k$ $n(n-1)$
이 존재 길이의 행을 그렇게 행의 각 쌍에 대해, 열에 의해 주어진 모든 순서쌍은 별개의 것을? $k$ $n^2$

Tsuyoshi의 의견에 따르면 질문 (1)에 대해 어떤 가치 를 달성 할 수 있다면 질문 (2)에 대해 동일한 가치 를 달성 할 수 있습니다 . 우리는 이제 질문 (2)에 대해 어떤 값 를 달성 할 수 있다면 , 질문 (1)에 대한 값 을 달성 할 수 있음을 보여줍니다 . 따라서이 두 질문에 대한 답은 거의 같습니다. $k$ $k$ $k$ $k-1$

구조는 다음과 같은 진행 : 모든 넣어 제외한 첫 행 무시 '의 제 s의 위치. 이제 값 순열 적용 할 의 각 나머지 행하도록, 첫 번째 항목을 제외하고, 제 각각의 열은 동일한 값을 포함하고, 강한의 관찰 주석에서 이것은 조건을 만족시키는 행 세트를 제공합니다 . $1$ $n$ $\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ $k-1$ $n$ $k-1$

이제 각 열의 모든 정렬 된 쌍을 포함하는 모든 행 쌍과 함께 길이 의 행 세트가있는 경우 이는 직교 라틴 사각형 의 세트와 같습니다 . 행 , , , 은 라틴 정사각형을 제공합니다. 행과 연관된 라틴 정사각형을 얻으려면 첫 번째 두 행 의 번째 열의 순서 쌍으로 좌표가 지정된 셀의 번째 열의 번째 열에 값을 입력하십시오 . $k$ $n^2$ $k-2$ $3$ $4$ $\ldots$ $k$ $j$ $i$ $j$ $i$

경우 주요 전력, 순서에 얼마나 많은 상호 직교 라틴 방진없는 존재 유명한 개방 문제, 나는 어떤 세트 생각하지 않는다 존재하는 것으로 알려져있다 직교 라틴 방진 하지 주요 전력을; 일반적인 합의는 그러한 세트가 존재하지 않는다는 것입니다. 지금까지 입증 된 유일한 결과는 그러한 세트가 대해 존재하지 않는다는 것 입니다. 알려진 행 수 는 일부 대해 이상으로 증가 한다는 것입니다. $n$ $n$ $n-2$ $n$ $n=6$ $k$ $k=\Omega(n^c)$ $c$ . 나는 10 차수의 8 개의 직교 라틴 사각형이 여전히 열려 있는지 믿습니다. (9가 없지만 두 질문에 대한 대답에서 의 가능한 차이로 인해 원래 문제에 대해 알려주지 않습니다.) $1$

를 들어 , 최대의 당신이 얻을 수는 3이고, 어떤보고 문제 (1) 세 행을 얻을 수 있습니다 밖으로는 회전 횡단과 라틴 방진있는 많은 비 해당하는 예가있다 . 를 들어 , 두 개의 직교 라틴 방진을주는 구조가 알려져있다. 이 사각형에 공통 횡단이 있으면 문제 (1)에 대해 를 얻을 수 있습니다 . $n=6$ $k$ $6\times 6$ $n=10$ $k=4$

— 피터 쇼어
소스

자세한 분석 감사합니다, 쇼어 교수님! 따라서 이러한 추론에서, 1)

MOLS 세트가 존재하지 않는다면 , 우리는 원래 문제가

대해 실현 가능하지 않다고 주장 할 수 있습니다 . 2)

MOLS 세트가 존재하는 경우 , 원래 문제가

대해 가능하다고 주장 할 수 있습니다 . 언제부터

소수 힘의 집합이 존재

몰을,이 이토의 부분적인 해결책의 대체보기를 제공합니다. 그리고 우리는 원래 문제가

때 실현 가능하지 않다는 것을 알았습니다 . 정말 훌륭합니다!

n - 2

$n - 2$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n

$n$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n = 6

$n = 6$

— Cyker

이것은 아주 좋은 연결입니다. 답변 해주셔서 감사합니다! 사소한 점 : Wikipedia에 따르면, n-1 직교 라틴 사각형은 n 소수뿐만 아니라 n 소수에만 존재한다고 알려져 있습니다.

— 이토 쓰요시

@ 츠요시-죄송합니다. 나는 그것을 알고 있었다. 방금 틀렸어 건설은 유한 한 분야에서 나옵니다. 수정 해 주셔서 감사합니다. 지금 고쳐

— 피터 쇼어 1

나는 그렇게 추측했다. :)

— 이토 쓰요시

이것은 부분 솔루션입니다. 이러한 행렬 은 n 이 주 전력 인 경우에 존재합니다 .

F 를 차수 n 의 유한 필드라고 하자 . 우리는 구성하는 N × N ( n은 그 행에 의해 표시되어 -1) 행렬 F 그 열 (로 표시되어, F ∖ {0}) × F 그 항목에 있고, F 는 다음과 같이 값 : I 의 번째 행 ( a , b ) 열 은 ai + b로 표시 됩니다. 즉, 각 열은 F의 1 차 다항식에 해당합니다 . 그런 다음 각 열에는 F의 각 요소가 포함됩니다 정확히 한 번만, 두 개의 열이 하나 인 다항식의 값이 최대 한 지점에서 일치 할 수 있기 때문에 두 열에 둘 이상의 행에 동일한 항목이 없습니다.

(사용자가 그 항목에 매트릭스를 원한다면 {1, ..., N }의 대신에 F 의 요소를 교체 F를 가진 {1, ..., N } 임의로).

— 이토 츠요시
소스

이것은 MUB처럼 보입니다. MUB Wikipedia 기사의 "Galois 필드를 사용하는 단일 연산자 방법"과 거의 동일한 방식으로

MUB 를 빌드하는 데 구성을 사용할 수 있다고 생각합니다 . 이 질문과 MUB 사이에 더 깊은 관계가 있습니까?

n + 1

$n + 1$

— Artem Kaznatcheev

@Artem : 특히 Peter의 대답이이 질문을 직교 라틴 정사각형에 연결 한 경우가 있습니다. (면책 조항 : 내 전문가가 아닌 관점에서 직교 라틴 사각형, MUB, 조합 디자인, 단일 디자인 및 SIC-POVM은 거의 구별 할 수 없습니다.)

— Tsuyoshi Ito

많은 감사합니다, 이토! 이 디자인은 정말 아름답게 보입니다!

— Cyker