슈퍼 마리오 갤럭시 문제

마리오가 행성의 표면을 걷고 있다고 가정합니다. 그가 알려진 위치에서 정해진 방향으로 미리 정해진 거리를 걷기 시작하면 어디에서 얼마나 빨리 멈출 수 있을까요?

더 형식적으로, 우리는 볼록 폴리 토프의 주어진 가정 3 공간, 기점 의 표면에 , 방향 벡터 (일부 패싯 함유의 평면 )과의 거리 . 마리오 의 어떤면이 내부에서 멈추는 지를 얼마나 빨리 확인할 수 있습니까? (기술적 인 관점에서 마리오가 의 정점으로 들어가면 즉시 폭발하지만 다행스럽게도 거의 발생 하지 않는다고 가정하십시오 .)의 P의 V P는 ℓ의 P의 $P$$s$$P$$v$$p$$\ell$$P$$P$

또는 원하는 경우 : 폴리 토프 , 소스 점 및 방향 벡터 가 미리 지정되어 있다고 가정 합니다. 전처리 후, 얼마나 빨리 우리는 주어진 거리에 대한 질문에 대답 할 수 ?의 브이 $P$$s$$v$$\ell$

특히 에 삼각형이있는 경우 Mario의 발자국을 쉽게 추적 할 수 있습니다. Mario가 모서리 중 하나를 통해 패싯에 들어갈 때마다 시간 내에 다른 두 모서리 중 어느 쪽을 통과해야하는지 결정할 수 있습니다 . 이 알고리즘의 실행 시간은 엣지-크로싱 수에서 선형 일 뿐이지 만 , 거리 ( 가 임의로 의 직경보다 클 수 있기 때문에 입력 크기의 함수로서 제한이 없습니다 . 더 잘할 수 있을까요?O ( 1 ) ℓ $P$$O(1)$$\ell$$P$

입력을 표현하기 위해 필요한 비트 수의 측면에서 글로벌 상한이있다 그러나 정수 입력을 고집하는 것은 다소 불쾌한 수치 문제 제기 - 우리는 어떻게 계산합니까 (실제로, 경로 길이는 실제로 억제 할 수 없습니다. 정확히 어디 — 실제 입력과 정확한 실제 산술을 고수합시다.)

이 문제의 복잡성에 대해 사소한 것이 있습니까?

업데이트 : julkiewicz의 의견에 비추어, 실제 RAM 실행 시간은 순전히 (폴리 토프의 복잡성)으로 제한되는 것은 불가능한 것 같습니다. Mario가 에서 시작하여 방향으로 걷는 양면 단위 사각형 의 특수한 경우를 고려하십시오 . Mario는 정수 의 패리티에 따라 사각형의 앞이나 뒤에서 멈 춥니 다 . PSPACE와 P를 동일하게 고려 하지 않으면 실제 RAM에서 일정한 시간에 플로어 함수를 계산할 수 없습니다 . 그러나 우리는 를 에서 계산할 수 있습니다[ 0 , 1 ] 2 ( 0 , 1 / 2 ) ( 1 , 0 ) 여기서 ⎣ ℓ ⌋ 여기서 ⎣ ℓ ⌋ O ( 로그 ℓ ) N 로그 ℓ를$n$$[0,1]^2$$(0,1/2)$$(1,0)$$\lfloor \ell \rfloor$$\lfloor \ell \rfloor$$O(\log \ell)$순진 알고리즘보다 지수 적 개선 인 지수 검색에 의한 시간. 및 시간 다항식은 항상 달성 가능합니까?$n$$\log \ell$

이 문제는 매우 어렵다. 다음과 같이 단순화하기가 더 쉬워졌습니다.

1. 폴리 토프 의 모든 정점에 대한 각도 합 이 의 합리적인 배수 라는 가정을 추가 할 수 있습니다 . 이것은 대부분의 "폴리 토프"를 ​​제거하지만 플라톤 고형물과 같은 많은 흥미로운 가능성이 여전히 있습니다.$P$$\pi$

2. 폴리 토프는 실제로 3 차원이 아니라 다각형의 "이중"이라고 가정 할 수 있습니다. 이것은 베개처럼 보입니다. 우리는 더 단순화하고 다각형이 동일하고 평행 한 측면을 가지고 있다고 가정 할 수 있습니다. 예를 들어 Astroids 게임에서와 같이 사각형입니다.

우리가이 가정을 모두하면 큰 이론이 있습니다. ( 정사각형에 대한 알고리즘을 찾는 것은 마리오 경로의 각도의 지속적인 분수 확장을 포함하는 어려운 연습입니다. 일반 팔각형에 대해 비슷한 결과를 얻는 것이 가능하지만 더 어렵습니다. 정사각형과 팔각형은 "번역 표면에 측지선을위한 절단 시퀀스"를 효율적으로 인코딩하는 방법에 대해 생각합니다. 대부분의 다른 합리적인 다각형은 신속하게 개방형 문제를 야기 할 것입니다.) 정사각형 원환 체는 Diana Davis의 대화 슬라이드 입니다.$O(\log(\ell))$

합리성을 가정하지는 않지만 폴리 토프가 다각형의 이중이라고 가정하면 "비합리적 당구의 절단 순서"이론을 논의하고 있습니다. 본질적으로 여기에 알려진 것은 없습니다. 예를 들어 Corinna Ulcigrai 의이 연설 의 마지막 문장을 보십시오.

우리가 아무 가정도하지 않으면, 나는 문헌에서 아무것도 생각할 수 없습니다.

마지막으로 플라톤의 고체에 대한 Super Mario Galaxy 문제에 대한 솔루션 이 있다고 생각합니다 . 이것은 합리적인 당구를 시작하는 대학원생에게 좋은 문제입니다. 예를 들어, 십이 면체의 경우는 "다이애나 데이비스 (Diana Davis)"의 논문을 따라야한다. (그러나 사면체로 시작하십시오-육각형 원환 체의 절단 순서 분석에서 나옵니다.)$O(\log(\ell))$

선형보다 더 잘할 수 있다고 생각합니다. 나는 이론적 인 컴퓨터 과학에 익숙하지 않기 때문에 이것이 쓰레기라면 용서하십시오.

다양한 가치의 일반적인 아이디어 :

• 각 패싯에 기호를 주면 마리오의 궤도가 문자열로 설명 될 수 있습니다. 여기서 문자열의 마지막 기호가 답입니다.
• 우리는 마리오가 가장자리에서 시작한다고 일반성을 잃지 않고 가정 할 수 있습니다 (뒤로 걷고 가장자리까지 l 확장하십시오)
• 시작 위치와 각도의 2D 공간은 다음 모서리로 분할 할 수 있습니다. 따라서 가장자리 a, 바닥에서 x 단위, 각도 a로 시작하여 한쪽면을 교차 한 후 가장자리 V에서 끝납니다.
• 이 시점에서 우리는 다른 방향으로 또 다른 가장자리에 있으므로 공간을 2 기호 문자열 등으로 분할하기 위해 함수를 재귀 적으로 호출 할 수 있습니다.
• 이제 TM에서 문제를 구현하기 위해 공간을 이산해야한다고 말하면 끝났습니다. 이것은 별개의 행성에 유한 한 점이 많기 때문에 모든 궤도는 주기적이어야한다는 것을 의미합니다. 모든 시작점에 궤도가 생길 때까지 위에서 설명한 함수를 계산하고이 정보를 저장할 수 있습니다. 그러면 문제는 O (1)이됩니다.
• 어쩌면 그것은 약간의 경찰 아웃 일 것입니다. 일부 인터넷 검색에 따르면 합리적인 볼록 다각형 내부의 거의 모든 당구 궤도는 주기적입니다 (즉, 주기적 궤도는 밀도가 높습니다). 따라서 (예를 들어) 사각형 행성의 경우 동일한 접근 방식이 작동 할 수 있습니다.
• 또 다른 방법은 시스템을 문자열 생성기 / 인식기로 간주하는 것입니다 (각 패싯에 고유 한 기호를 할당하여). 언어에 알려진 복잡성 클래스가 있다면 이것이 바로 당신의 대답입니다. 폴리 토프 제품군을 볼록하지 않은 임의의 차원으로 확장하면 매우 광범위한 언어를 캡처 할 수 있습니다.

이것은 실제로 답이 아니지만, 다시 일을해야합니다. :)