양자 PAC 학습

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배경

함수 는 깊이 d의 회로를 학습하기 위해 무작위로 선택된 를 요구하는 고전적인 알고리즘을 사용하여 준 다항식 시간에서 PAC를 학습 할 수있다 [1]. 더 존재하지 않는 경우 인수 분해 알고리즘은 다음이이 최적 [2]이다. 물론, 양자 컴퓨터에서 우리는 인수 분해 방법을 알고 있으므로이 하한은 도움이되지 않습니다. 또한 최적의 클래식 알고리즘은 함수의 푸리에 스펙트럼을 사용하므로 "quantumize me!" $AC^0$ $O(2^{log(n)^{O(d)}})$ $2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour 및 N. Nisan. "일정한 깊이 회로, 푸리에 변환 및 학습 성", Journal of ACM 40 (3) : 607-620.

카리 토 노프 "분포-특이 학습의 암호화 경도", ACM STOC의 절차, pp. 372-381.

실제로, 6 년 전, Scott Aaronson은 양자 컴퓨팅 이론을위한 그의 10 개의 반-할란 Challanges 중 하나로 의 학습 가능성을 제시 했습니다 . $AC^0$

질문

내 질문은 세 가지입니다.

1) 양자 컴퓨터가 암호화 가정을 가진 고전 컴퓨터보다 빨리 배울 수있는 자연 기능 군의 예가 있습니까?

2) 거기의 학습 용이성에 진전되고 있습니다 특히? (또는 약간 더 야심 찬 ) $AC^0$ $TC^0$

3)의 학습 용이성에 관해서 , 아 론슨의 코멘트 : "다음 양자 컴퓨터는 근접에 최적 학습 신경망에 대한 가중치에 고전 컴퓨터를 통해 엄청난 이점을 가지고있다." 신경망과 회로의 가중치 업데이트가 어떤 관련이 있는지에 대한 참조를 제공 할 수 있습니까 ? (떨어져 임계 게이트가 S 자 뉴런처럼 사실에서) $TC^0$ $TC^0$ (이 질문은 질문과 대답했다 이미 )

— 아르 템 카즈 나체 예프
소스

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첫 번째 질문에 대해 살펴 보겠습니다.

양자 컴퓨터가 암호화 가정을 가진 고전 컴퓨터보다 더 빨리 배울 수있는 자연 기능 군의 예가 있습니까?

정확한 모델과 최소화되는 리소스에 따라 다릅니다. 한 가지 옵션은 표준 클래식 모델의 샘플 복잡도 (배포 독립적 인 PAC 학습의 경우)를 양자 샘플이 제공되는 양자 모델과 비교하는 것입니다 (즉, 임의의 입력과 해당 함수 값이 제공되는 대신 알고리즘이 제공됩니다) 입력과 그 기능 값에 대한 양자 중첩으로). 이 설정에서 양자 PAC 학습과 기존 PAC 학습은 기본적으로 동일합니다. 샘플 복잡성에 대한 고전적인 상한과 샘플 복잡성에 대한 양자 하한은 다음과 같은 일련의 논문에서 볼 수 있듯이 거의 동일합니다.

[1] R. Servedio와 S. Gortler,“양과 고전 학습 성의 등가와 분리,”SIAM Journal on Computing, vol. 02138, pp. 1–26, 2004.

A. Atici와 R. Servedio,“양자 학습 알고리즘에 대한 개선 된 한계”, Quantum Information Processing, pp. 1–18, 2005.

C. Zhang, "양자 PAC 학습을위한 쿼리 복잡성에 대한 개선 된 하한", Information Processing Letters, vol. 111 호 1, pp. 40–45, 2010 년 12 월.

$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty와 J. Jackson,“양자 예제 오라클을 사용하여 균일 분포에 대한 DNF 학습”SIAM Journal on Computing, vol. 28 번 3, pp. 1136–1153, 1998.

[5] J. Jackson, C. Tamon 및 T. Yamakami,“Quantum DNF 학습 가능성이 재검토 됨”, Computing and Combinatorics, pp. 595–604, 2002.

A. Atıcı와 R. Servedio,“Juntas 학습 및 테스트를위한 양자 알고리즘”, Quantum Information Processing, vol. 6 번 5, 323-348 페이지, 2007 년 9 월

반면, 양자 컴퓨팅을 후 처리 도구로 사용하는 표준 클래식 PAC 모델에만 관심이있는 경우 (즉, 양자 샘플 없음) Servedio와 Gortler [1]는 컨셉 클래스가 존재한다는 것을 관찰했습니다. Blum 정수를 인수 분해하는 경도를 가정하여 고전적으로 PAC를 배울 수는 없지만 Shor의 알고리즘을 사용하여 양자 적으로 PAC를 배울 수있는 Kearns and Valiant에게.

회원 쿼리를 통한 Angluin의 정확한 학습 모델의 상황은 다소 유사합니다. 양자 쿼리는 쿼리 복잡성 측면에서 다항식 속도 향상을 제공 할 수 있습니다. 그러나 단방향 함수가 존재한다고 가정하면 시간 복잡성이 기하 급수적으로 가속화됩니다 [1].

나는 두 번째 질문에 대해 전혀 모른다. 나는 그것에 대해 더 많이들을 수있어 기쁘다.

— 로빈 코타 리
소스

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이것은 확실히 귀하의 질문에 대한 완전한 대답은 아니지만 첫 번째 부분을 돕기를 바랍니다. 알려지지 않은 oracles를 식별하기 위해 양자 알고리즘을 사용하는 데 상당한 관심이있는 것 같습니다. 이에 대한 예는 Floess, Andersson and Hillery ( arXiv : 1006.1423 ) 의 최근 논문으로 Bernstein-Vazirani 알고리즘을 조정하여 입력 변수 (juntas)의 작은 하위 집합에만 의존하는 부울 함수를 식별합니다. 그들은이 접근법을 사용하여 저 다항식에 대한 오라클 함수를 결정합니다 (선형, 2 차 및 3 차 경우를 명시 적으로 처리합니다).

— 조 피츠 시몬스
소스