기하학으로부터의 통찰력이 완전히 비 기하학적 인 것을 해결하는 데 유용한 예

공간 차원이 3 개인 우주에서 진화 한 것에 대한 좋은 점 중 하나는 우주의 물체와 관련된 문제 해결 기술을 개발했다는 ​​것입니다. 따라서, 예를 들어, 우리는 삼중 항을 3 차원의 점으로 생각할 수 있고 따라서 삼중 항에 대한 계산은 3 차원에서의 점에 대한 계산으로서, 공간에 대한 직관을 사용하여 풀 수 있습니다. 이것은 때때로 기하학 기술을 사용하여 완전히 비 기하학 문제를 해결할 수 있어야 함을 시사하는 것 같습니다. 누구든지 그러한 예를 알고 있습니까?

물론 '형상'과 '비 형상'이라는 용어는 약간 모호합니다. 모든 점을 좌표로 바꾸면 기하학적 문제가 실제로 비 기하학적이라고 주장 할 수 있습니다. 그러나 직관적으로 정의는 명확합니다. SoCG에 종이를 보내는 것을 고려할 때 기하학적이라고 부릅니다.

몇 가지 예 :

Sleator, Thurston 및 Tarjan 은 이진 트리 회전에 대한 하한 을 증명하기 위해 트리의 형상 표현을 다각형의 파티션과 쌍곡선 형상으로 사용했습니다 . 또한 동적 이진 검색 트리 의 기록 은 사면체 화로 나타낼 수 있다고 생각합니다 .

의 감소 범위 최소 쿼리에 적어도 공통 조상 인해 버크 및 Vishkin 행은 논란의 여지는 있지만 기하학적 문제에 나무의 데이터 구조의 문제에 관한 것이다. (그리고 David 기사에 감사드립니다)

최대 무게 독립적 인 축-평행 사각형 세트에 대한 스케줄링 문제의 감소 [1] 또는 기하학적 세트 커버 [2]에 대한 다른 스케줄링 문제의 감소가 적합 할 수 있습니다.

최대의 층을 찾는 데 가장 큰 공통 하위 시퀀스 문제를 줄이는 것은 잘 알려져 있습니다 (즉, 실제로 누가 그것을 생각했는지 찾아보기에는 너무 게으름입니다).

[1] (Liane Lewin-Eytan, Joseph Seffi Naor 및 Ariel Orda)

[2] Nikhil Bansal, 커크 프 루스. 일정의 기하학, FOCS 2010.

[나중에 편집] "기하학적"관점이 놀라운 것처럼 보이는 경우가 몇 가지 더 있습니다 ( "SoCG에 제출"또는 "시각화 할 무언가"표준이 충족되지 않았 음).

분산 컴퓨팅의 하한에 적용되는 대수 토폴로지

계산을 Hausdorff 차원에 통합

그룹에 대한 거리 개념을 정의한 다음 부피, 거리의 함수로 부피의 증가를 정의한 다음 "다항식 성장"

물론 이전의 것보다 훨씬 더 나은 대답은 가장 희소 한 컷을 해결하기 위해 메트릭 임베딩 이론을 사용하는 것입니다. 가장 희소 한 절단 문제에 대한 해결책의 핵심 단계 는 일반적인 메트릭을 노름 공간에 포함시키는 것이 근사치라는 사실을 깨달았습니다$\ell_1$ .

그것들은 다른 곳에서도 언급되었지만, 내가 좋아하는 예는 이것입니다 : 부분 정보로 정렬하는 것은 poset가 주어지면 고정 된 알 수없는 선형 확장을 찾는 문제이며, poset가 주어지면 정보 이론에 최대한 가까운 수의 비교 쿼리를 사용하는 문제입니다 하한 (이것은 비교 횟수가 중요한 복잡성 측정이고 일부 비교가 무료로 제공되는 경우 정렬입니다). Saks와 Kahn 은 최적의 ( 비정상적인 ) 비교 전략의 존재를 포셋과 관련된 특수 폴리 토프 오더 폴리 토프의 속성을 사용하여 입증했습니다 (이산 형 기하학에 관한 마투 섹의 강의에서 볼 수 있습니다). 첫번째 다항식 시간 알고리즘 (Kahn and Kim에 의해) 최적 (상수까지) 비교 전략을 계산하는 입력 폴리 토프의 특성과 입력 포즈의 비교할 수없는 그래프의 안정된 세트 폴리 토프를 다시 사용했습니다.

Demaine 등 의 이진 검색 트리의 기하학적 표현을 사용하여 동적 최적화에 대한 최신 기술을 발전 시키는 비교적 최근의 논문 이 있습니다. 나는 그들이 DO 추측을 해결하지 않기 때문에 약간 모호하다. 그러나 그들은 어떤 경계를 강화하고 기하학적 공식에서 나온 것처럼 보이는 새로운 통찰력을 준다.

나는 그런 것들의 예가 있다고 생각하지 않습니다. 선형 프로그래밍, 반정의 프로그래밍, 복소수, 많은 기계 학습 등을 제외하고 실제 질문은 http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso 입니다.

작년 POPL에 EigenCFA : GPU를 사용한 흐름 분석 가속화 라는 멋진 논문이있었습니다.이 논문 은 람다 용어를 행렬로 표현한 다음 GPU를 사용하여 데이터 흐름 분석을 빠르게 수행했습니다.

이 논문은 이것을 명시 적으로 지적하지는 않았지만, 기본적으로 그들이하고 있던 것은 나무를 나타내는 벡터 공간의 범주 구조를 이용하는 것이었다. 즉, 일반적인 고정 이론에서 나무 (일부 고정 높이)는 직교 곱의 중첩 된 결합입니다.

그러나 벡터 공간에는 직접 곱과 합계가 있으므로 트리를 적합한 벡터 공간의 요소로 나타낼 수도 있습니다. 또한 직접 곱과 직접 합은 벡터 공간과 일치합니다. 즉, 같은 표현을 갖습니다. 이것은 병렬 구현의 문을 열어줍니다. 물리적 표현이 동일하기 때문에 많은 분기 및 포인터 추적을 제거 할 수 있습니다.

또한 데이터 흐름 분석이 큐빅 타임 인 이유를 설명합니다. 고유 벡터를 계산합니다!

네트워킹에서 라우터는 트래픽을 분류하기 위해 TCAM (3 진 컨텐츠 주소 지정 가능 메모리, 즉, 비트 신경 쓰지 않는 컨텐츠 주소 지정 가능 메모리)을 사용합니다. TCAM의 항목은 종종 다차원 접두사 일치 규칙입니다. 예를 들어 (101 *, 11 *, 0 *)은 첫 번째 헤더 필드가 101로 시작하고 두 번째 헤더 필드가 11로 시작하는 모든 패킷과 일치합니다. 패킷은 첫 번째 규칙과 일치하지 않고 두 번째 규칙과 일치하며 일치하는 규칙을 찾을 때까지 계속됩니다.

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

네트워킹 사람들에게이 해석은 특정 규칙 집합이 수행하는 작업을 이해하는 데 유용합니다. 이론가들에게는 다른 흥미로운 용도가 있습니다. Gupta와 McKeown의 패킷 분류 알고리즘에 따르면 , 기하학적 해석을 통해 패킷 분류 문제에 대한 하한과 상한을 빠르게 설정할 수있었습니다. TCAM 규칙 최소화에 대한 작업 (시맨틱을 유지하는 가장 적은 수의 규칙 찾기)도 기하학적 접근 방식의 이점을 얻었습니다. 내가 이것에 대해 줄 수있는 참고 문헌이 많이 있지만, 가장 많이 사용되는 것은 Applegate 등의 SODA 2007 논문 직선 그림 압축 및 액세스 제어 목록 최소화. 그들은 위의 접두사 일치 규칙의보다 일반적인 변형을 최소화하는 것이 NP-hard이며 문제를 해결하기 위해 다시 사각형의 예쁜 그림에 연결합니다!

나는 유클리드 알고리즘 이 두 숫자 사이에서 가장 큰 공통 요소를 찾는 다고 말한 사람이 아무도 없습니다 . axb 사각형을 그려 문제를 처리 한 다음 가장 작은면으로 만든 사각형으로 사각형을 세분화하고 남은 사각형에 대해 반복하고 남은 사각형을 균등하게 나눌 수있는 사각형을 찾을 때까지 남은 사각형에 대해 계속 반복하십시오 (참조 유클리드 알고리즘 페이지의 애니메이션 GIF).

일이 어떻게 작동하는지 알아내는 매우 우아한 방법, IMO.

아마도 목록에 너무 많은 예제가 있지만 아마도 하나의 고전적인 예제 (Aigner와 Ziegler가 " 책에서 증명 "으로 강조 표시 )는 Lovász가 Shannon의 용량 문제를 해결하기 위해 기하학적 표현을 사용하는 것입니다. 이 증거는 1979 년에 출판되어 1956 년부터 공개 질문을 해결했지만, 이것은 최첨단으로 남아 있습니다.

격자, 구 패킹 등과 오류 정정 코드의 관계 (예 : Conway 및 Sloane book). 그러나 그 관계가 너무 강해서 그 후에 오류 수정 코드를 "완전히 기하학적이지 않습니다"라고 불러야한다면 분명하지 않습니다 ...

LLL 또는 PSLQ 와 같은 격자 감소 기법 은 고도로 기하학적이며 선형 디오 판틴 근사 및 정수 관계 탐지와 같은 순수한 수 이론의 문제를 해결합니다.

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Gerard Salton 은 정보 검색 시스템을 위해 벡터 사이의 각도의 코사인 (코사인 유사성)을 사용한다는 아이디어를 생각해 냈습니다. 이것은 빈도-역 문서 빈도라는 용어 를 계산하는 데 사용되었습니다 . 나는 이것이 현대 검색 엔진의 전임자라고 생각합니다. 벡터 공간 모델 도 참조하십시오 .

$k$$k$

물론 증거는 기하학보다 위상이 높지만 크기가 낮 으면 명확한 기하학 그림이 있습니다. 내가 아는 한, 순전히 조합 증거 (토폴로지에 대해 아무 것도 듣지 않는 사람에게 설명 할 수있는 증거)는 존재하지 않습니다.

데이터베이스 및 최적화에서 공간 채우기 곡선의 역할 : http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

머신 러닝의 지원 벡터 머신은 아마도 자격이 있습니다.

선형 프로그래밍을 해결하기위한 계산 기하학 기법이 있습니다. 계산 기하학 : 알고리즘과 응용 프로그램 은 그것에 대해 훌륭하고 간단한 장을 가지고 있습니다.

함수 의 명확한 적분 은 그래프로 묶인 영역의 부호있는 영역으로 표시 될 수 있습니다.