H 프리 컷 문제

연결되고 단순하고 방향이없는 그래프 H가 있다고 가정합니다.

H 프리 컷 문제는 다음과 같이 정의됩니다.

단순하고 방향이없는 그래프 G가 주어지면, 컷 세트 (L 및 R)에 의해 유도 된 그래프가 모두 H에 대한 동형 하위 그래프를 포함하지 않도록 컷 (정점을 두 개의 비빈 세트 L, R로 분할)이 있습니까? .

예를 들어, H가 단일 모서리로 연결된 두 정점이있는 그래프 인 경우 문제는 그래프가이 분식이고 P에 있는지 확인하는 것과 같습니다.

H가 삼각형 인 경우, 이것은 단색 삼각형 문제 의 정점 버전과 같습니다 .

H가 3 개 이상의 꼭짓점으로 2 개 연결되면 H-free cut 문제는 ​​NP-Complete임을 알 수있었습니다.

이 문제 (및 결과)에 대한 참조를 찾을 수 없었습니다.

2 개의 연결 상태를 제거하고 NP-Completeness를 계속 입증 할 수 있습니까?

위 또는 더 강한 결과를 의미하는 알려진 결과를 아는 사람이 있습니까?

"잘라 내기"보다는 "이 분할"또는 "버텍스 파티션"또는 "컬러링"이라는 용어를 찾을 수 있습니다. 당신이 암시하는 선에 따른 색수의 다양한 일반화는 80 년대 중반 이후 (또는 아마도 초기에) 고려되었습니다. 캐나다 조합 회의에는 찾기 어려운 참고 문헌이 있지만 Cowen, Goddard and Jesurum (JGT 또는 SODA 1997) 및 관련 참고 문헌 / 인용문을 확인하십시오.

2011 년 2 월 15 일 수정

Aravind 와 Moron이 지적한 바와 같이 (아래 주석에서) 다음 참조 는 사소한 경우를 제외하고 -free cut 문제가 NP-hard 임을 나타냅니다 .$H$

D. Achlioptas. free 색상 의 복잡성 . 이산 수학. 165/166 (1997) 21-30. [pdf] .$G$

A. Farrugia. 고정 첨가제 유도 유전 특성으로의 정점 분할은 NP-hard입니다. 전자. J. 조합. 11 (2004) # R46 (9 pp).

이것이 귀하의 질문 (참조에 대한)에 직접 대답하지는 못할 수도 있지만 2- 연결 조건없이 NP- 경도를 표시하는 가능한 방법을 간략히 설명하고 싶습니다. 누락 된 두 가지가 있습니다. 하나는 '원본 문제'의 NP 경도에 대한 증거이며, 다른 하나는 '컬러'버전의 H- 컷으로 축소하고 있다는 것입니다. 유용하지 않을 수 있습니다. 첫 번째 병목 현상에 대해서는 공식화에 대해 게으르다는 증거가 있다고 생각합니다. 그래서 곧 그 문제를 해결할 수 있기를 바랍니다. 그러나 지금까지 약간의 운으로 컬러 버전을 현재 버전으로 줄이는 것에 대해 생각했습니다. 또한 H가 2- 연결되어있는 경우 귀하의 증거가 궁금합니다. 세부 정보를 제공해 주시겠습니까?

따라서 컬러 버전은 다음과 같습니다. 그래프의 각 정점에는 팔레트 P (고정 된 유한 세트)의 색상 목록이 있습니다. 파티션이 H의 단색 복사본을 유도하지 않도록, 즉 | H |의 하위 집합이 없도록 컷을 찾아야합니다. H의 복사본을 유도하는 정점과 해당 색상 목록에 비어 있지 않은 교차가 있습니다.

다음은 d-SAT의 제한된 변형에서 축소 된 것입니다. 여기서 d는 | H |입니다. (d = 2 인 경우에는 분명히 작동하지 않습니다.)

d-SAT의 제한된 변형은 다음과 같습니다.

1. 모든 절에는 양수 또는 음수 문자 만 있습니다. 각각 P- 절 및 N- 절과 같은 절을 참조하겠습니다.

2. 모든 P- 절은 N- 절과 쌍을 이루어 두 절이 동일한 변수 세트를 포함하도록 할 수 있습니다.

(이 겉보기 제한 버전이 어려울 수있는 이유에 대한 아이디어가 있습니다. 매우 밀접하게 관련된 제한이 어렵습니다. 쉽게 착각 할 수는 있지만 축소를 상상할 수 있습니다!)

이 문제를 감안할 때, 축소는 아마도 그 자체를 암시합니다. 그래프에는 수식의 모든 변수에 대한 정점이 있습니다. 모든 절 C_i에 대해 절에 참여하는 변수 세트에서 H의 사본을 유도하고이 정점 세트에 색상 i를 추가하십시오. 이것으로 건설이 완료됩니다.

모든 과제는 당연히 컷에 해당합니다.

L = 0으로 설정된 모든 변수 세트, R = 1로 설정된 모든 변수 세트

주장은 만족스러운 할당은 단색 H 프리 컷에 해당한다는 것입니다.

다시 말해, 만족스러운 할당으로 주어 졌을 때 (L, R)은 L 또는 R이 H의 단색 사본을 유도하지 않는 것입니다. L이 그러한 사본을 가지고 있다면, 해당 P 절이 모든 변수가 0으로 설정되어 할당이 만족 스럽다는 사실과 모순됩니다. 반대로, 만약 R이 그러한 사본을 가지고 있다면, 대응하는 N 절은 모든 변수가 1로 설정되어 있어야합니다.

반대로, 컷을 고려하고 한쪽의 변수를 1로 설정하고 다른 쪽의 변수를 0으로 설정하십시오 (우리가 작업하는 공식의 종류, 할당 및 뒤집어 짐에 따라 어떤 방식 으로든 중요하지 않음에 유의하십시오) 만족도에 따라 버전이 동일합니다). 이 과제로 조항이 충족되지 않으면, 컷의 단색 -H- 자유와 상반되는 측면 중 하나에서 단색의 H 사본으로 다시 추적 할 수 있습니다.

채색에 빠지는 이유는 직접 축소 시도에서 H의 사본이 절에 해당하지 않는 H의 가짜 사본을 생성하기 위해 방해 할 수 있기 때문입니다. 실제로 H가 경로처럼 단순한 경우에도 실패합니다.

나는 색상을 없애는 데 운이 없었으며 문제를 더 간단하게 만들지 확신하지 못했습니다. 그러나, 나는 그것이 정확하다면 시작일 수 있기를 바랍니다.