대각선 화는 계급 분리의 본질을 포착합니까?

나는 대각선 화와 relativization 결과에 근거하지 않은 클래스 분리를 ​​본 기억이 없습니다. 대각선 화 결론이나 대각선으로 된 튜링 기계 구조에서 비상 대화 주장이 여전히 사용될 수 있기 때문에, 대각선 화는 여전히 남아있는 알려진 클래스를 분리하는 데 사용될 수 있습니다. 다음은 몇 가지 관련 질문입니다.

대각선 화를 기반으로하지 않는 클래스 분리 증명이 있습니까?

그리고 그렇다면

그들 뒤에 자체 참조 메커니즘을 찾을 수 있습니까?

더욱이,

모든 계급 분리에는 "비공식적 인 의미에서"정식 자연적 증거가 있습니까?

그렇다면 공개 질문에 대한 다른 증명 체계보다는 비 상대적인 주장을 찾아야합니다.

대각선이 아닌 모든 증거를 대각선으로 다시 작성할 수 있습니까?

대각선 화를 공식화하는 방법에 따라 다릅니다. Kozen은 복잡한 클래스 분리가 대각 화 증거 여야한다는 논문 을 보유하고 있습니다.

대각 화가 상대화되기 때문에, 모순적 상대화를 암시하는 모든 복잡성 결과는 대각 화를 기반으로 할 수 없습니다. 인용 Arora-Barak :

대각선 화만 사용하여 입증 된 결과 는 모든 Oracle O ⊆ { 0 , 1 } ∗에 대해 에 대한 oracle 액세스 권한이있는 TM에도 적용된다는 의미에서 상대성을 향상시킵니다 . 이를 사용하여 그러한 방법의 한계를 보여줄 수 있습니다. 특히, 상대화 방법만으로는 P 대 NP 문제를 해결할 수 없습니다.$O$$O \subseteq \{0, 1\}^*$

관련성이없는 주요 분리 기술 중 하나는 회로 하한을 증명하는 것입니다. 예를 들어 모든 문제 에는 다항식 회로 가 있다는 것을 알고 있습니다. 반면, N P 문제에 수퍼 다항식 회로 가 있음을 증명하면 (즉, 수퍼 다항식 하한 표시) P ≠ N P 입니다. 불행하게도, Razborov와 Rudich는이 기술이 P 대 NP 문제를 해결할 가능성이 없음을 보여주었습니다. ( 자연 증명 참조 ). 회로 하한 증명에 기초한 클래스 분리에서의 최근의 획기적인 내용은 [1] 과 [2] 에서 논의됩니다 .$P$$NP$$P\ne NP$

상대화하지 않는 또 다른 주요 기술은 산술입니다. 이 기술은 제 것을 증명 하였다 ( 룬드 등. ), 나중에 증명 IP = PSPACE를 . 이 기술은 Aaronson과 Wigderson에 의해 P 대 NP를 해결하기에는 불충분 한 것으로 판명되었습니다 ( 대수 장벽 이라고 함 ).$P^{PH} \subseteq IP$

포트 젠의 대답에 덧붙여 코젠의 연구를 계속하면서 내쉬, 임 팔리 아초, 렘멜 은 강력한 대각선 화의 개념을 공식화하고 그것이 상대화되지 않는다는 증거를 제시했다. 첫 번째 질문에 부분적으로 답하기 위해 일부 클래스 분리 증명은 강력한 대각선 화를 기반으로 할 수 없음을 보여줍니다. 초록은 다음과 같습니다.

우리는 강한 대각선 화를 정의하고 연구하고 그것을 [7]에 암시적인 약한 대각선 화와 비교한다. Kozen의 [7] 결과는 사실상 모든 분리가 약한 대각선 화로 다시 변환 될 수 있음을 보여줍니다. 우리는 강력한 대각선 화로 분리 될 수없는 언어 클래스가 있으며 강한 대각선 화가 관련성이 없다는 증거를 제공합니다. 우리는 또한 두 가지 종류의 간접 대각선을 정의하고 그 힘을 연구합니다.

우리는 보편적 언어로 강력한 대각선 화를 정의하기 때문에 그 복잡성을 연구합니다. 우리는 약하고 엄격한 보편적 언어를 구별하고 비교합니다. 마지막으로 의사 범용 언어 (pseudouniversal language)라고하는 약한 변형의 범용 언어를 분석하고 약한 폐쇄 조건에서 쉽게 범용 언어를 생성 함을 보여줍니다.

1- 내쉬, A., 임 팔리 아초, R., 렘멜; J. "범용 언어와 대각선 화의 힘." 계산 복잡성에 관한 제 18 차 연례 IEEE 컨퍼런스 (CCC'03), p. 337, 2003.

대각선 화를 기반으로하지 않는 클래스 분리 증명이 있습니까?

그렇습니다. 복잡한 복잡성 클래스가 있지만 그렇지는 않습니다. 우리는 그러한 증거를 배제 할 주장이 없지만, 지금까지 균일 한 복잡성 클래스 사이의 모든 분리는 어느 곳에서 대각선 화를 사용하는 것으로 보입니다.

그들 뒤에 자체 참조 메커니즘을 찾을 수 있습니까?

균일하지 않은 클래스가 아니고 열거 할 수 없기 때문에 불균일 한 복잡성 클래스 분리가 "자체 참조"인수로 바뀔 수 있다고 생각하지 않으며 자체 참조 인수의 경우 클래스 멤버를 열거해야합니다.

모든 계급 분리에는 "비공식적 인 의미에서"정식 자연적 증거가 있습니까?

"정식"의 의미에 따라 다릅니다. AFAIK, "두 증거가 본질적으로 동일 할 때"라는 질문에 대한 답변에 대한 합의가 없습니다.

그렇다면 공개 질문에 대한 다른 증명 체계보다는 비 상대적인 주장을 찾아야합니다. 대각선이 아닌 모든 증거를 대각선으로 다시 작성할 수 있습니까?

다른 사람들이 지적했듯이 대답은 대각선 화의 의미에 달려 있습니다. 좀 더 일반적인 의미로 (Lance가 링크 한 Kozen의 논문), 두 가지 다른 "복잡성 클래스"(Kozen의 논문에 정의 된)에 대한 대답은 '그렇다'입니다. 인수를 "대각 화"인수로 바꿀 수 있습니다. 그러나:

1. 이는 Kozen의 논문에 명시된 요구 사항을 충족하지 않는 복잡성 클래스에는 적용되지 않습니다 (즉, Kozen "호환 클래스"가 아님).
2. $P$$PSpace$
3. 중요한 것은 방법이 더 일반적 일수록 응용 프로그램이 더 제한적이며 (자체가 사용하는 경우) 더 많은 경우에 작동해야하기 때문에 방법에 대한 제한이기 때문에 특정 방법을 사용할 수 없다는 것입니다 공유하지 않거나 문제에 방법을 적용하려는 다른 문제와 비슷한 것으로 대체 할 수없는 경우 문제에 대한 정보.
4. 분리 인수를 "대각선 화"인수로 바꿀 수 있지만 (위에서 언급 한 제한 사항을 고려하면) "대각 화 함수가 실제로 클래스를 분리"한다는 사실에는 증거가 필요합니다. Kozen의 논문 은 클래스가 다른 경우 대각선 화 기능 이 있음을 보여 주지만 주어진 함수가 실제로 대각선임을 어떻게 알 수 있습니까? 증거가 필요합니다! 그리고이 논문 (AFAIU)은 그러한 증거를 제시하는 방법에 대한 아이디어를 제공하지 않습니다. 분리 인수가 있으면이를 대각선 화 증거로 바꿀 수 있지만 그 이후에야증거가 있습니다. 원래 증명은 새로운 대각선 화 증명의 일부로 사용되며 함수가 실제로 대각선임을 보여줍니다. (그리고 어떤 의미에서 Kozen의 논문으로 구성된 대각선 화 증거는 원래의 주장에 전적으로 의존하기 때문에 "정규"가 아닙니다.)