적절한 순열을 적용하는 복잡성

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그래서, 우리는 어떤 배열을 가지고 있고 인덱스에 함수 를 가지고 있습니다. 는 순열입니다.$f$$f$

메모리와 런타임이 가능한 및 가까운 에 따라 배열을 어떻게 재정렬 합니까?$f$$O(1)$$O(n)$

이 작업이 쉬워 질 때 추가 조건이 있습니까? 예를 함수 명시 적으로 알면 는 의 역함수입니다 .$g$$f$

사이클을 따라 가고 각 인덱스의 사이클을 통과하여 사이클이 가장 적은지 확인하는 알고리즘에 대해 알고 있지만 평균적으로 더 나은 동작 인 것처럼 보이지만 최악의 경우 런타임이 있습니다. ...$O(n^2)$

옵션 0 : Permuting In Place (1995), Faith E. Fich, J. Ian Munro, Patricio V. Poblete 시간 공간.$O(n \log n)$$O( \log^{2} n )$

옵션 1 : 순열을 간결한 데이터 구조로 압축하여 치트를 제거하십시오 (Munro http://www.itu.dk/people/ssrao/icalp03-a.pdf 참조) .

옵션 2 : 프라임 사이클 분해를 사용하여 파마를 간결하게 저장하고 여분의 공간을 사용하여 부정 행위 http://oeis.org/A186202

옵션 3 : 조작 된 각 사이클의 가장 큰 인덱스를 추적하십시오. 각 반복마다 보이지 않는 가장 큰 색인을 사용하여주기의 모든 항목을 하나씩 이동하십시오. 보이는 인덱스에 도달하면 사이클이 이미 조작되었으므로 모든 작업을 취소하십시오. 시간, 공간.$O(n^2)$$O(\#\text{cycles} * \log n)$

옵션 4 : 조작 된 각 사이클의 가장 큰 인덱스를 추적하되 고유 한 사이클 길이의 배치로만 수행하십시오. 각 반복마다 보이지 않는 가장 큰 색인을 사용하여주기의 모든 항목을 하나씩 이동하십시오. 보이는 인덱스에 도달하면 해당 사이클이 이미 조작되었으므로 모든 작업을 취소하십시오. 시간, 공백.$O(n^2 * \text{distinct}\_\text{cycle}\_\text{lengths})$$O((\#\text{cycles}\_\text{with}\_\text{same}\_\text{size}) * \log n)$

옵션 5 : 옵션 0과 동일한 용지에서 Munro의 가 해당 사이클에서 가장 큰 인덱스 인 경우 의 사이클을 회전합니다 . 시간 및 공간$i = 1 .. n$$p(i)$$i$$O(n^2)$$O(\log n)$

순열의주기 표시를 사용하는 경우 현재 순열되는 항목을 저장하기 위해 1 개의 추가 배열 요소가 필요하며 더 나쁜 O (N) 연산에서주기를 실행할 수 있습니다.

N 개 항목의 순열은 N-1 이하의 교환을 사용하여 다른 순열로 변환 될 수 있습니다. 이 방법의 최악의 경우 오라클 (F ())에 대한 O (n ^ 2) 호출이 필요할 수 있습니다. 가장 작은 위치에서 시작하십시오. x를 현재 교환하고있는 위치로하자.

F (x)> = x이면 위치 x와 F (x)를 교체합니다. 그렇지 않으면 F (x) 위치에 있던 항목이 현재 목록에서 어디에 있는지 찾아야합니다. 우리는 다음 반복으로 이것을 할 수 있습니다. y = F (x)라고하자. y> = x : y = F (y) : 끝까지 수행하십시오. 이제 위치 x와 y를 교환하십시오.

이 방법은 F의 역수를 사용하며 n 비트의 저장 공간이 필요합니다. x가 원래 배열에서 항목의 위치이면 G (x)를 정렬 된 배열에서 항목의 위치로 둡니다. B를 n 비트 배열로 설정하십시오. B의 모든 n 비트를 0으로 설정하십시오.

x = 1 ~ n-1의 경우 : IF B (x) == 0 그때 : y = G (x) : 끝날 때까지 x == y : 위치 x와 y를 교체 : B (y) = 1 : y = G ( y) : 루프 : ENDIF : 다음 X

이 방법은 현재 위치 x에있는 항목을 항목의 최종 위치로 계속 교체합니다. 올바른 항목이 x 위치로 바뀌면 내부 루프가 종료됩니다. 각 스왑은 하나 이상의 항목을 항목의 최종 위치로 이동하기 때문에 실행 중에 내부 Do 루프를 n-1 번 이상 실행할 수 없습니다. 이 방법은 O (n) 시간과 공간이라고 생각합니다.