나무와 가장자리의 반을 모두 가질 수있는 나무 너비는 얼마나됩니까?

G를 2n 꼭짓점의 나무라고합시다. G의 트리 폭, tw (G) = 1입니다. 이제 그래프 H를 얻기 위해 G에 n 개의 모서리를 추가한다고 가정합니다. tw (H)의 쉬운 상한은 n + 1입니다. 이것이 본질적으로 최선입니까?

어떻게 든 tw (H)가 O (sqrt (n))이어야하지만 이것은 모호한 직감입니다. 2n 꼭짓점의 트리에 n 개의 모서리를 추가하여 얻은 그래프의 트리 폭에 대해 O (n)보다 더 좋은 상한을 알고 있습니까?

모델은 임의의 3 정규 그래프를 요구하는 것보다 덜 일반적인 것은 아니며 3 정규 확장 그래프는 선형 트리 폭을 갖습니다. 그래서 나는 일정한 요인에 대해 알지 못하지만 Θ (n)이 가장 좋습니다.

David가 지적했듯이 기본적으로 평균 차수가 3 인 연결된 그래프의 트리 폭에 대한 경계를 요청합니다.보다 일반적인 3 정규 그래프의 경우 다음과 같은 하한과 상한을 얻을 수 있습니다. 그래프 G의 경로 폭을 pw (G)로 나타내면,

(1) 모든 그래프 G에 대한 tw (G) <= pw (G) (경로 분해는 트리 분해이므로)

[1]에서

(2) 모든 \ epsilon> 0에 대해, n> = n_0 꼭짓점의 임의의 3- 정규 그래프 G에 대해 pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n과 같은 정수 n_0이 존재한다.

이것은 3 정규 그래프의 트리 폭에서 대략 n / 6의 상한을 제공합니다.

거의 확실한 하한선을 위해 [2]를 인용한다.

"임의의 입방 그래프는 거의 확실하게 양분 폭이 최소 0.101 n이므로 (Kostochka, Melnikov, 1992), n / 20보다 작은 크기의 분리기가 거의 없으므로 n / 20보다 작은 폭의 나무 분해는 거의 없습니다. .

양분 폭에 대한 "확실한"하한에 대해, [3]은이 그룹의 각 그래프 G = (V, E)가 최소 0.082 * | V |를 갖도록 3 규칙 그래프의 무한 패밀리를 보여 주었다.

[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie : 3 차 그래프의 경로와 정확한 알고리즘. Inf. 방법. 레트 사람. 97 (5) : 191-196 (2006)

[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez : 등급이 확장 된 대학원 및 수업 II. 알고리즘 측면. 유로 J. 빗. 29 (3) : 777-791 (2008)

[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich : 그래프의 양분 폭에 대한 새로운 스펙트럼 하한. 이론. 계산. 공상 과학 320 (2-3) : 155-174 (2004)