의 영구

허락하다 $A$ ~이다 $3 \times 3$ 또는 $4 \times 4$ 항목이있는 행렬 $a_{ij}$. 누군가 나에게 행렬을 제공 할 수 있습니까?$B$ 그래서 $\operatorname{per}(A) = \det(B)$? \ operatorname {per} (A) = \ det (B) 와 같이 알려진 가장 작은 명시 적 는 무엇입니까 ? 명백한 예를 가진 이것에 대한 언급이 있습니까?$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$

다음과 같은 경우에 일부 제한이있을 수 있습니다.

사례 (1) B의$(1)$ 항목으로 선형 기능 만 허용됩니다 .$B$

사례 $(2)$ 각 항에 최대 $O(log(n))$ 정도 ( 도는 변수의 합 ) 가있는 경우 비선형 함수가 허용됩니다. 여기서 $n$ 은 관련 행렬의 크기입니다. 우리의 경우, 2 도까지 $2$.

[편집하다]

1. 일관성을 유지하기 위해 표기법을 에서 .$c(n)$$dc(n)$
2. 그것은으로 질문을 받았다 대 더 높은 차원에 대한 내 대답의 일반화 여부를 설명한다. 모든 필드에 상한을 제공합니다 이것에 대한 나의 초안을 참조하십시오 : 영원한 대 결정적 문제에 대한 경계 . $$dc(n)\le 2^n-1.$$

[/편집하다]

[측설 : 새로운 질문을 작성하는 대신 이전 질문을 편집 할 수 있다고 생각합니다.]

나는 당신을 위해 다음과 같은 대답을했습니다 :

$$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

명시 적 예제에 대한 이러한 참조를 찾으려면 아무것도 찾을 수 없으므로 내가 제공 한 예제는 내가 작성한 예제입니다.

이 질문은 일반적으로 "영구 대 결정 문제"라고합니다. 행렬 가 주어지고 되도록 가장 작은 행렬 필요하다고 가정 합니다. 가장 작은 그러한 의 치수를 표시합시다 . 역사적 결과는 다음과 같습니다.$(n\times n)$$A$$B$$\operatorname{per} A=\det B$$dc(n)$$B$

• [Szegö 1913]$dc(n)\ge n+1$
• [von zur Gathen 1986]$dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
• [Cai 1990]$dc(n)\ge n\sqrt 2$
• [Mignon & Ressayre 2004] 특성$dc(n)\ge n^2/2$$0$
• [카이 첸 및 리튬 2,008] 특성 .$dc(n)\ge n^2/2$$\neq 2$

이것은 임을 나타냅니다 (상한은 위에서 주어진 행렬입니다).$5\le dc(3)\le 7$

내가 게으른 것처럼, 나는 당신이 다른 것을 찾을 수있는 하나의 참조를 제공합니다. : 카이 첸과 리튬하여 내가 인용 한 가장 최근의 논문입니다 어떤 특성을 통해 영구적 인 결정 문제에 대한 하한 차$\neq 2$ .

프랑스어를 읽는다면이 주제에 대한 나의 슬라이드를 볼 수도 있습니다 : Permanent vs Déterminant .