멤버십 테스트가 NP-complete 인 것으로 확인되면 세트의 카디널리티를 바인딩 할 수 있습니까?

꼭지점 이있는 단위 디스크 그래프 세트의 카디널리티에 바운드하고 싶습니다 . 그래프가이 세트의 멤버인지 확인하는 것은 NP-hard 인 것으로 알려져 있습니다. 이것이 P NP를 가정하면 카디널리티의 하한으로 이어 집니까? $N$ $\neq$

예를 들어 꼭짓점 이있는 모든 그래프에 순서가 있다고 가정 합니다. NP-hardness가 카디널리티가 초과한다는 것을 의미 합니까? 그렇지 않으면 세트를 통해 이진 검색을 수행하여 다항식 시간의 멤버 자격을 테스트 할 수 있습니까? 나는 이것이 당신이 어떻게 든 세트를 메모리에 저장했다고 가정 할 것입니다 ... 이것이 허용됩니까? $N$ $2^N$

정의 : 그래프는 각 정점이 평면의 단위 디스크와 연관 될 수있는 경우 디스크가 교차 할 때마다 정점이 연결되는 경우 단위 디스크 그래프입니다.

다음은 단위 디스크 그래프에 대한 멤버쉽 테스트의 NP-hardness에 대한 참조입니다. http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— 최 David
소스

궁금합니다.이 기술이 일부 세트의 크기에서 가장 잘 알려진 하한을 제공하는 예가 있습니까? 그것은 복잡성 이론의 멋진 간접 조합 응용입니다.

— Sasho Nikolov

당신의 친절한 도움에 감사드립니다. 두 답변 모두 도움이되고 통찰력이있었습니다. 나는 다른 쪽이 없을 때 어느 쪽이든 받아 들였을 것입니다.

— David Choi

답변:

기술이나 답변에 대해이 질문을하고 있는지 확실하지 않지만 McDiarmid와 Mueller의 최근 논문에서 개의 정점 에 (레이블이 붙은) 단위 디스크 그래프의 수 는 ; http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf를 참조 하십시오 . $n$ $2^{(2 + o(1))n}$

— 바트 얀센
소스

Mahaney 's Theorem은 희소 한 NP-complete 세트가 P = NP에 존재한다고 명시하고 있습니다. 따라서 가정하면 완전 세트 에서 크기 의 인스턴스 수에 대해 무한 다항식 하한을 의미하며 무한히 많은 입니다. 즉, , 세트는 가져야 만 무한히 많은 정수 경우, 세트는 적어도 길이가 문자열 . $P \neq NP$ $n$ $NP$ $n$ $P \neq NP$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

H. Buhrman과 JM Hitchcock은 다항식 계층 구조가 붕괴되지 않는 한 하한 ( )이 빡빡 하다는 것을 증명했습니다 . $2^{n^{\epsilon}}$

[1] H. Buhrman 및 JM Hitchcock, NP-Hard 세트는 coNP ⊆ NP / poly가 아니라면 기하 급수적으로 조밀합니다 (2008 년 1 ~ 7 페이지 IEEE 계산 복잡성 회의).

[2] Eric Allender, NP 질문에 대한 P 상태 보고서, 컴퓨터의 발전, 볼륨 77, 2009, 페이지 117-147

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

[Mah82] SR 마하 네이. 버먼과 Hartmanis에 의한 추측의 솔루션 : NP에 대한 희소 세트 130-143, 1982 : 컴퓨터 및 시스템 과학 저널 25

— MARZIO 드 BIASI

각 NP- 완료 세트에는 셀 수없이 무한한 카디널리티가 있습니다. 아마도 P ≠ NP 가 무한히 많은 대해 크기 의 인스턴스 수에 대한 초 다항식 하한을 의미한다는 것을 의미했을 것입니다 . 또한 는 사용자가 제공 한 형식이 아닌 수퍼 다항식입니다.

n

$n$

n

$n$

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$

— András Salamon

감사합니다 András, 귀하의 의견은 답변에 포함됩니다.

— Mohammad Al-Turkistany 2016 년

@Mohammad : 하한을 또는 만드십시오. 이것이 바로 다항식의 의미입니다.

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$

— Sasho Nikolov

@Sasho, H. Buhrman 및 JM Hitchcock은 다항식 계층 구조가 붕괴되지 않는 한 내 대답에서 언급 한 하한 ( )을 입증했습니다 . H. Buhrman과 JM Hitchcock, NP-Hard 세트는 coNP ⊆ NP / poly가 아니라면 지수 밀도가 높다 (2008 년 1 ~ 7 페이지 IEEE 계산 복잡성 회의에서)

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$

— Mohammad Al-Turkistany