푸시 다운 오토마타를 사용하여 문맥이없는 언어에 대한 펌핑 보조 성 증명

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일반 언어에 대한 펌핑 보조 정리 , 공부 언어를 인식하는 유한 상태 자동 장치를 고려 상태의 수보다 길이 더 큰 문자열을 따기, 그리고 비둘기 집 원리를 적용하여 입증 할 수있다. 그러나 문맥이없는 언어 (약간 일반적인 Ogden의 정리)에 대한 펌핑 보조 는 연구 된 언어의 문맥이없는 문법을 고려하고 충분히 긴 문자열을 고르고 구문 분석 트리를 보면 증명됩니다.

두 가지 펌핑 렘마의 유사성을 감안할 때, 문법이 아닌 언어를 인식하는 푸시 다운 오토 마톤을 고려함으로써 문맥이없는 렘마가 일반적인 것과 비슷하게 증명 될 수 있다고 기대할 것입니다. 그러나 나는 그런 증거에 대한 언급을 찾지 못했습니다.

따라서 내 질문 : 문법이 아닌 푸시 다운 오토 마타 만 포함하는 컨텍스트가없는 언어에 대한 펌핑 보조 정리에 대한 증거가 있습니까?

— a3nm
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이 문제에 대해 다시 생각해 보았고 충분한 증거가 있다고 생각합니다. 내가 예상했던 것보다 조금 까다 롭습니다. 의견은 매우 환영합니다! 업데이트 : 누군가에게 도움이되는 경우 arXiv 에이 증거를 제출했습니다 .http : //arxiv.org/abs/1207.2819

$\DeclareMathOperator{\fp}{fp}$ $\DeclareMathOperator{\lp}{lp}$ $\newcommand{\fpp}[1]{\widehat{\fp{#1}}}$ $\newcommand{\lpp}[1]{\widehat{\lp{#1}}}$

알파벳 이상의 문맥없는 언어라고 하자 . 하자 인식하는 푸시 다운 오토마타 수 스택 알파벳, . 우리는의 상태의 수 . 일반성을 잃지 않으면 서 전환이 스택의 최상위 심볼을 팝하고 스택에서 심볼을 푸시하지 않거나 스택에서 이전 최상위 심볼과 다른 심볼을 푸시 한다고 가정 할 수 있습니다 . $L$ $\Sigma$ $A$ $L$ $\Gamma$ $|A|$ $A$ $A$

우리는그리고 펌핑 길이, 그리고 표시 할 모든 되도록 는 형식으로 분해 되어 , 및 . $p' = |A|^2 |\Gamma|$ $p = |A| (|\Gamma|+1)^{p'}$ $w \in L$ $|w| > p$ $w = u v x y z$ $|vxy| \leq p$ $|vy| \geq 1$ $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$

하자 등 그 . 하자 위한 최소한의 길이로 수용 될 (의 천이들의 시퀀스로 표현 ) 우리가 그 길이를 나타낸다. 우리가 정의 할 수 있습니다, 수용 경로의 위치에있는 스택의 크기 . 모든 , 우리는 정의 - 레벨 위에 세 인덱스의 집합으로서 와 되도록 : $w \in L$ $|w| > p$ $\pi$ $w$ $A$ $|\pi|$ $0 \leq i < |\pi|$ $s_i$ $i$ $N > 0$ $N$ $\pi$ $i, j, k$ $0 \leq i < j < k \leq p$

$s_i = s_k, s_j = s_i + N$
모든 대해 , $n$ $i \leq n \leq j$ $s_i \leq s_n \leq s_j$
모든 대해 , 입니다. $n$ $j \leq n \leq k$ $s_k \leq s_n \leq s_k$

(이의 예는 아래의 사례 2에 대한 그림을 참조하십시오 . 수준 을 보여줍니다 .) $N$

의 레벨 을 최대 으로 정의하여 가 레벨을 갖도록 합니다. 이 정의는 다음 특성에 의해 동기가 부여됩니다. 경로 위의 스택 크기가 레벨 보다 커지면 깊이가 보다 큰 스택 기호 가 표시되지 않습니다. 하나 : 우리는 지금 이가지 경우 구별됩니다 , 우리는 기계적 상태에 대해 동일한 구성 및 최상위 것을 알고있는 경우 스택의 상징이 처음에 두 번 발생 의 단계 , 또는 $l$ $\pi$ $N$ $\pi$ $N$ $\pi$ $l$ $l$ $l < p'$ $l$ $p+1$ $\pi$ $l \geq p'$ 및 생성하는 임의의 횟수로 반복 할 수있는 스택 및 언 스태킹 위치가 있어야합니다 . $v$ $y$

사례 1. . 우리는의 구성 정의 상태의 커플로 과의 시퀀스 스택 기호 (여기서 크기의 스택 미만 로 패딩으로 나타낼 수와 우리가 사용하는 이유는 특별한 빈 기호와 정의 ). 정의에 따라 보다 작은 이러한 구성 . 따라서, 의 첫 단계 에서 동일한 구성은 두 개의 다른 위치에서 두 번 발생합니다 (예 : . 에 의해 표시 $l < p'$ $A$ $A$ $l$ $l$ $l$ $|\Gamma| + 1$ $p$ $|A| (|\Gamma| + 1)^l$ $p$ $p+1$ $\pi$ $i < j$ $\widehat{i}$ (Resp. ) 의 단계 (resp. ) 에서 읽은 마지막 문자의 위치 . 우리는이 . 따라서, 우리는 반영 할 수 으로 , , , . (에 의해 우리의 문자를 나타내는 에서 에 포괄적으로 독점.) 구성으로 . $\widehat{j}$ $w$ $i$ $j$ $\pi$ $\widehat{i} \leq \widehat{j}$ $w = u v x y z$ $y z = \epsilon$ $u = w_{0 \cdots \widehat{i}}$ $v = w_{\widehat{i} \cdots \widehat{j}}$ $x = w_{\widehat{j} \cdots |w|}$ $w_{x \cdots y}$ $w$ $x$ $y$ $|vxy| \leq p$

또한 이라는 것을 보여 주어야 하지만, 위의 관찰 결과는 다음과 같습니다. 보다 깊은 스택 기호 는 절대 튀어 나오지 않으므로 구별 할 방법이 없습니다. 우리의 정의에있어서 동일한 구성 및 경로에 대한 수용성 와는 내장 의 단계를 반복함으로써 및 , 번. $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z = u v^n x \in L$ $l$ $u v^n x$ $w$ $i$ $j$ $n$

마지막으로 인해 경우 후, 우리는 단계에서와 동일한 구성을 가지고 있기 때문에이 및 에서 , 의 최소값과 모순되는 의 수용 경로가 됩니다. $|v| > 0$ $v = \epsilon$ $i$ $j$ $\pi$ $\pi' = \pi_{0 \cdots i} \pi_{j \cdots |\pi|}$ $w$ $\pi$

(이 경우 오토 마톤 상태에서 최상위 스택 기호를 하드 코딩하여 일반 언어에 펌핑 렌마를 적용 하는 것입니다. 이는 이 작기 때문에 가이 오토 마톤의 상태 수보다 커지기 때문에 충분합니다. 주요 트릭은 -transitions에 맞게 조정해야한다는 것 입니다.) $l$ $l$ $|w|$ $\epsilon$

사례 2. . 를 레벨로 하자 . 스택 크기 , 에 마지막 푸시 와 첫 번째 팝 . 정의에 따르면 및 입니다. 다음은이 구성의 예입니다. 그림을 단순화하기 위해 나중에 수행해야 할 경로 위치와 단어 위치를 구분하지 않습니다. $l \geq p'$ $i, j, k$ $p'$ $h$ $s_i \leq h \leq s_j$ $\lp(h) = \max(\{y \leq j | s_y = h\})$ $\fp(h) = \min(\{y \geq j | s_y = h\})$ $i \leq \lp(h) \leq j$ $j \leq \fp(h) \leq k$

사례 2의 구성 설명 그림을 단순화하기 위해 경로 위치와 단어 위치 사이의 구분이 생략됩니다.

우리 는 스택 크기 의 전체 상태 가 다음에 의해 형성된 트리플 이라고 말합니다 . $h$

위치 에서의 오토 마톤 상태 $\lp(h)$
위치 의 최상위 스택 기호 $\lp(h)$
위치 에서의 오토 마톤 상태 $\fp(h)$

와 사이 에 가능한 전체 상태와 스택 크기가 있으므로, pidgeonhole 원칙에 따라 와 함께 두 가지 스택 크기 가 존재합니다. 에서 및 와 동일하다. 케이스 1에서와 같이, 우리는에 의해 정의 , , 와 의 최후 문자의 위치 에 대응하는 위치에서 판독 . 우리는 여기서 $p'$ $p' + 1$ $s_i$ $s_j$ $g, h$ $s_i \leq g < h \leq s_j$ $g$ $h$ $\lpp(g)$ $\lpp(h)$ $\fpp(h)$ $\fpp(g)$ $w$ $\pi$ $w = u v x y z$ $u = w_{0 \cdots \lpp(g)}$ , , , 이고 입니다. $v = w_{\lpp(g) \cdots \lpp(h)}$ $x = w_{\lpp(h) \cdots \fpp(h)}$ $y = w_{\fpp(h) \cdots \fpp(g)}$ $z = w_{\fpp(g) \cdots |w|}$

이 인수 분해는 ( 레벨의 정의에 의해 때문에 ). $|vxy| \leq p$ $k \leq p$

또한 을 보여 주어야합니다 . 그렇게하려면 를 반복 할 때마다 동일한 상태와 동일한 스택 상단에서 시작하고 스택의 현재 위치 아래로 튀어 나오지 않습니다 (그렇지 않으면 현재 위치에서 다시 밀어야 함). 최대 )이므로 의 동일한 경로 를 따라 스택에서 동일한 기호 시퀀스를 푸시 할 수 있습니다 . 의 maximality으로 과의 minimality 읽는 동안 오토 마톤에 따라 경로에 관계없이 다수의 동일하므로, 우리는 스택의 현재의 위치보다 튀어하지 우리가 를 반복 한 횟수 $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$ $v$ $\lp(g)$ $A$ $\lp(h)$ $\fp(h)$ $x$ $v$ . 우리는 반복 지금, 만약 여러 번 우리는 반복으로 우리가 같은 상태에서 시작하기 때문에 우리는 우리의 반복과 스택에 같은 심볼 열을 밀어 이후, , 그리고 우리는 더 많은 것보다 팝업하지 않기 때문에 있다 최소값으로 쌓이면 에서 동일한 경로 를 따라 스택에서 동일한 심볼 시퀀스를 팝 할 수 있습니다 . 따라서, 로부터의 수용 경로는 대한 수용 경로로부터 구성 될 수있다 . $w$ $v$ $v$ $v$ $\fp(g)$ $A$ $u v^n x y^n z$ $w$

마지막으로 , 케이스 (1)에, 경우처럼 때문에 및 , 우리가 짧은 수용성 경로를 구축 할 수 제거하여 와 . $|vy| > 1$ $v = \epsilon$ $y = \epsilon$ $w$ $\pi_{\lp(g)\cdots\lp(h)}$ $\pi_{\fp(h)\cdots\fp(g)}$

따라서 우리는 두 경우 모두에 적절한 인수 분해가 있으며 결과가 입증됩니다.

(이 증거로 나를 도와 준 Marc Jeanmougin에게 공헌합니다.)

— a3nm
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네 가능합니다. 표면 구성이라는 개념을 사용할 수 있습니다. 그들은 오랫동안 Cook에 의해 소개되었습니다. 이를 통해 펌핑 보조 정리 버전을 쉽게 얻을 수 있습니다.

표면 구성과 관련하여 LogCFL의 거의 모든 용지에는 그 정의가 포함되어야합니다. 여기입니다 최근의 논문 과 여기입니다 논문

더 활기찬 누군가가 세부 사항을 철자 할 수 있습니다!

— V 비네
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대답 해줘서 고마워! 예, 오토 마톤 상태와 최상위 스택 기호의 조합을 보는 것이 매우 당연합니다. 그래도 여전히이 문제에 대해 생각하고 있으며 세부 사항을 알아낼 수는 없습니다 ... 도움을 주셔서 감사합니다. :-)

— a3nm

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완전성을 위해이 방향의 증거에 대한 참조.

A.Ehrenfeucht, HJHoogeboom, G.Rozenberg : 조정 된 쌍 시스템. I : Dyck 단어와 고전적인 펌핑 RAIRO, Inf. 테어 Appl. 20, 405-424 (1986)

추상. 조정 쌍 시스템의 개념 [...]은 푸시 다운 오토 마톤의 개념과 매우 밀접하게 일치합니다 (의 다른 공식입니다). 이 논문에서 우리는 [...] cp 시스템의 계산 분석을 통해 문맥이없는 언어의 펌핑 속성을 얻을 수있는 가능성을 조사합니다. 이를 위해 Dyck 단어의 조합 구조를 분석합니다. 우리가 조사하는 Dyck 단어의 속성은 cp 시스템에서 계산의 조합 분석에서 비롯됩니다. 우리는이 통신이 고전적인 펌핑 보조를 증명하는 데 어떻게 사용될 수 있는지 보여줍니다.

— 헨드릭 얀
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Géraud Sénizergues와이 문제를 논의 할 때, 그는 Sakarovitch가이 결과를 이미 증명 한이 논문 을 지적했습니다 . 그 증거는 Ogden에 의해이 논문 으로 거슬러 올라간 것 같습니다 .

참고 문헌 :

Sakarovitch, Jacques. 개인 정보 보호 정책은 대수적으로 꾸며져 있습니다. (프랑스어 영어 요약). 수학. 시스템 이론 14 (1981), no. 3, 247–288.
윌리엄 F. 오그 던 스택 언어에 대한 인터 칼 레이션 정리. 컴퓨팅 이론에 관한 최초의 연례 ACM 심포지엄 진행 (STOC '69).

— 라 미네
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