약 수행 비용. 스킵 쿼드 트리에서 가장 가까운 이웃 검색

참고 : 질문에 대한 답변이 다시 정리되었습니다. 이제 시간 에 가장 낮은 형제 조상을 찾을 수 있다고 가정하면 ANN을 실제로 에서 수행 할 수 있습니까?O ( 로그 n $O(1)$$O(\log n)$

쿼드 트리는 효율적인 공간 인덱스입니다. [2]에 설명 된 것처럼 압축 된 쿼드 트리 구조에서 가장 가까운 이웃 검색을 구현하는 퍼즐이 있습니다. (세부 사항없이 검색은 등거리 경로의 꼬리 노드에서 끝나는 소위 등거리 사각형을 따라 하향식으로 진행됩니다. 첨부 된 이미지에서 이것은 남동쪽에있는 점으로 채워진 노드 일 수 있습니다.)

알고리즘이 작동하려면 4 개 방향 (북쪽, 서쪽, 남쪽)에서 가장 낮은 (계층 구조에서 가장 가까운) 조상 노드에 대한 포인터를 각 노드 (두 개 이상의 비어 있지 않은 사분면이있는 사각형)마다 유지해야합니다. , 동쪽). 이것들은 노드의 서쪽 조상의 녹색 화살표로 표시됩니다 (화살표는 조상의 광장 중앙을 가리킴).

이 논문은 포인트 삽입 및 삭제 중에 O (1)에서 이러한 포인터를 업데이트 할 수 있다고 주장합니다. 그러나 녹색 점의 삽입을 볼 때 임의의 수의 포인터 (이 경우 6 개)를 업데이트해야합니다.

이 포인터 업데이트를 일정한 시간에 수행하는 트릭을 원합니다. 어쩌면 악용 될 수있는 간접적 인 형태가 있을까요?

편집하다:

논문의 관련 섹션은 6.3이며 다음과 같이 읽습니다. "경로가 구부러진 경우 가장 낮은 조상 이외에도 방향 각각에 대해 가장 낮은 방향을 고려해야합니다 그 방향으로가는 조상 [...] 에서이 제곱을 찾는 것은 우리 가 각 방향에 가장 가까운 조상을 가리키는 각 정사각형에 추가 포인터를 연결하면 제곱 당 시간 으로 수행 할 수 있습니다. 이러한 포인터는 점을 삽입하거나 삭제하는 동안 시간 안에 업데이트 될 수도 있습니다 . "q O ( 1 ) 2 d Q 0 O ( 1 $log(c/ε)$2 d$q$$2^d$$q$$q$$O(1)$$2^d$$Q_0$$O(1)$

[2] : Eppstein, D. and Goodrich, MT 및 Sun, JZ,“스킵 쿼드 트리 : 다차원 데이터를위한 간단한 동적 데이터 구조”, 전산 기하학에 관한 제 21 회 연례 심포지움 진행, pp. 296-305 2005 년.

다윗처럼, 요나단이 왜 2 ^ d 포인터에 대해 그 말을했는지 모르겠습니다. 필요하지 않습니다. 위에서 언급했듯이 Q_0에서 리프 v에 대한 포인트 위치를 수행 할 때 건너 뛰기 쿼드 트리에서 형제 노드 (및 해당 상자)를 기억하는 것으로 충분합니다. P에서 상자를 처리 할 때 쿼리 지점에 가장 가까운 리프 상자에 대한 위치를 지정하여 내려 가면서 형제 상자를 삽입합니다. 이것은 당신의 대답과 다소 같을 것 같습니다. 또한이 절차는 예를 들어 Arya, Sunil and Mount, David M. 및 Netanyahu, Nathan S. 및 Silverman, Ruth and Wu, Angela Y. JACM, 1998. "가까운 인접 이웃 검색 고정 치수를위한 최적의 알고리즘"

쿼드 트리 건너 뛰기를 z- 순서에 따라 포인트를 저장하는 데이터 구조의 건너 뛰기 목록 구현으로 생각할 수 있습니다. 적어도 개념적으로 더 간단합니다 ...

http://goo.gl/pLiEO의 2 장을 참조하십시오 .

일정 시간에 일부 기본 z 순서 연산을 수행 할 수 있다고 가정하면 ANN을 로그 시간으로 수행 할 수 있습니다. 앞에서 언급 한 장에서는 압축 쿼드 트리를 원할 경우 기괴한 작업을 피할 수있는 방법이 없음을 보여줍니다. LCA 작업은 필요하지 않습니다 ...

또한 직관적으로 그러한 포인터없이 살 수 있다고 생각하고 어느 시점에서 모든 노드를 하드 디스크에 유지해야하므로 포인터가 크게 줄어 듭니다.

내 생각은 대략 다음과 같습니다. 가장 좋은 후보 점 (리프) 외에도 각 라운드에서 최악의 거리 도 추적합니다 . 최악의 거리 는 가 정사각형 내부 또는 외부에 있더라도 노드 의 모든 모서리와 쿼리 지점 의 최대 거리입니다 . r m a x d i s t ′ ( v , q ) q v $l_{best}$$r_{max}$${dist}'(v,q)$$q$$v$$v$

라운드는 다음과 같습니다. 가 비어 있으면 반환합니다 (있는 경우). 그렇지 않으면 삭제 분 현재 제공 에서 . 를 로 초기화하십시오 (또는 최상의 후보자가 아직없는 경우 이를 설정하십시오 ). 첫째, 각각의 비어 있지 않은 아이 테스트 에 . 이 자식 가 잎인 경우, 필요한 경우 및 업데이트하십시오 . 가 노드 인 경우 및 를 계산하십시오. 후자는 가장 좋은 거리입니다. 0이면L 개의 B 형 E S t의 P 0 Q 0 (R)의 m X의 L 개의 B 형 E S t ∞ P 0 Q 0 Q L 개의 B 형 E S t의 R의 m X의 Q를 D 나 S t ' ( Q , V는 ) 거라고 I S t를 ( q , v ) v q q $P$$l_{best}$$p_0$$Q_0$$r_{max}$$l_{best}$$\infty$$p_0$$Q_0$$q$$l_{best}$$r_{max}$$q$${dist}'(q,v)$${dist}(q,v)$$v$ 는 안에 있거나 에서 까지 의 모든 모서리에서 가장 짧은 거리에 있습니다.$q$$q$$v$

경우 잊지 , 그렇지 않으면를 유지한다. 유지 된 노드 수가 경우 해당 노드를 푸시하십시오 . 라운드의 끝. q ≥ 2 ${dist}(q,v) > r_{max}$$q$$\geq 2$$P$

그렇지 않으면 원래 검색과 유사하게 진행하십시오. 가능한 가장 높은 에서 해당 노드를 에 대응하는 찾아서 시작하십시오. 즉, 최고의 거리가 초과하는 것을 건너 뜁니다 . 이 검사 후에 아이가 남아 있다면, 그 아이로 내려 가서 반복하십시오. 자녀가 남아 있지 않으면 로 이동하여 반복하십시오. 테스트가 에서 수행 된 경우 라운드가 완료됩니다.p 0 Q j r m a x Q j − 1 Q $q$$p_0$$Q_j$$r_{max}$$Q_{j-1}$$Q_0$

현재로서는 가능한 모든 경우에 가장 가까운 이웃을 찾거나 원래 알고리즘만큼 성능이 우수하다는 것을 알지 못합니다. 또한 의 초기화 가 충분한 지 여부. 그리고 에서 우선 순위는 무엇 입니까? 여전히 최고의 거리입니까?$r_{max}$$P$

편집 (2013 년 4 월)

나는 이제 같은 노드로 내려 가면 현재 쿼리 모양이 적용되는 영역을 변경하지 않는 속성을 기반으로 equistabbing 노드 대신 'equipotent'노드의 정의를 사용하는 위 알고리즘에 대한 더 많은 실험을 수행했습니다. .$r_{max}$

불행히도, 성능이 라운드로 저하되는 병리학 적 사례를 만들 수 있습니다 (아래 이미지 참조; 쿼리 포인트는 하단 중앙) .$O(\sqrt n)$

나는 이론 13에 주장 된 최대 라운드 수를 확인하기 위해 가장 낮은 형제 조상들이 무차별 대입 (O (1) 변형을 찾기 전에)을 검색하는 equistabbing 기반 알고리즘을 구현했다. .$O(\epsilon^{1−d}(\log n+\log \epsilon^{−1}))$

이전 답변의 "병리학 적"예를 사용하고 있습니다. 2 차원 근 사각의 측면 길이는 512이며 중심 좌표는 (256, 256)입니다. 좌표는 정수로 제공되며 냅니다. 점은 제곱을 가로 질러 수평으로 균등하게 배치되며 쿼리 지점 는 (256, 511)입니다 (512는 이미 제곱을 벗어납니다).$\epsilon = 1$$v$

아래 그림에는 풀 트리 이 표시되어 예제의 포인트 수는 16입니다. 파란색 사각형 외곽선은 우선 순위 대기열로 푸시 된 흥미로운 사각형을 나타내며 가운데 숫자는 라운드 숫자를 나타냅니다. 그들은 밀어 붙였다. 발견 된 리프 포인트는 또한 설명 된 라운드 번호로 레이블이 지정됩니다. 3 개의 투명한 파란색 원은 1, 2, 7 차 이후의 알려진 NN 반경을 나타냅니다 (가장 가까운 이웃은 7 차에서 처음으로 표시됨). 총 12 개의 라운드가 있습니다 (대기열의 마지막 6 개 팝 사각형 만 새 사각형을 추가하지는 않음).$Q_0$

$O(\sqrt n)$$d = 2$$\epsilon = 1$$O(\log n)$

따라서 중요한 것을 놓치지 않으면 알고리즘이 명시된 속도를 달성 할 수 없습니다. 의견이나 아이디어가 있습니까?