간단한 (?) 재미있는 조합 문제!

$0<E<1$ 및 정수 을 수정합시다 $t>0$.

어떤 대한 $n$ 및 벡터 $\bar{c} \in [0,1]^n$ 되도록 $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

나는 그 진술이 참인지 모르겠다. 나는 그것이 사실이라고 생각합니다.

내 직관은 벡터에 대해 (합계에 대한 원하는 속성이 있음) ; 이 경우 세트 에서 서브 세트 만 선택할 수 있습니다 .$\bar{c} \in \{0,1\}^n$$A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$$\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

다른 사람의 경우에 우리가 좋은 일부를 만들 수 있습니다 (ST는 합이 더 큰 다음 )에이 좌표를 사용하여 집합에서 좌표뿐만 아니라, 어쩌면 거의 사용 우리는 다른 좋은 세트를 만들 수 있습니다!$E \times t$$\{ i ~|~ c_i > E \}$$\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

그것을 증명하거나 버그를 찾으십시오! 그것이 당신을위한 재미있는 게임이되기를 바라고 있습니다!

질문의 동기 :

당신이 임의의 변수가 있다고 가정 에있다 "얼마나 많은 임의성"의 전형적인 조치가 인 최소 엔트로피$X\in \{0,1\}^n$$X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

직관적 인 의미에서 최소 엔트로피는 유명한 Shannon Entropy 의 최악의 경우 입니다 ( 평균 경우 ).

우리는 랜덤 변수 의 최소 ​​엔트로피를 하한값으로 설정하는데, 여기서 는 세트 균일하게 분포 됩니다.$(Z=X \wedge Y| Y)$$Y$$\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

운이 좋으면 운이 좋으면 "엔트로피가 좋은" 의 비트를 잡을 수 있으므로 이면 $X$$H_{\infty}(X)\geq En$$H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

우리가 운이 좋을 확률은 얼마입니까?

이 문제는 잘 연구되어 왔으며 많은 문헌이 있습니다. 예를 들어 Lemma A.3을 참조하십시오. 바운드 검색 모델의 누설 복구 공개 키 암호화

게시물의 추측은 유지되지 않지만 의견에 언급 된 약한 추측 (바닥과 관련하여)은 유지됩니다. 사실, 더 강한 것이 있습니다.

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렘마 1. 게시물의 추측은 유지되지 않습니다. 즉, 대해 주어진 가정을 충족시키는 인스턴스가 있습니다

$$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$$

증명. , , 및 인스턴스를 고려하십시오 . 그런 다음 입니다. 왼쪽에는 1의 합이 최대 1.7까지 포함되지 않은 부분 집합 와 1을 모두 포함하는 두 개의 부분 집합 ( 및 ) 만 있기 때문에 입니다. 오른쪽은$n=3$$c=(1, 1, 0.7)$$E=2.7/3=0.9$$t=2$$E\, t = 1.8$

$$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$$ $S$$\{1,1\}$$\{1,1,0.7\}$$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

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의견에서 제안 된 약한 추측, 즉 바닥에있는 경계, 가 유지합니다. 실제로 약간 더 강한 것이 있습니다.$\lfloor E\, n \rfloor$

보조 정리 2. 수정 , 정수 및 벡터 과 . 그런 다음 $0<E<1$$n,t>0$$c \in [0,1]^n$$\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

$$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$$

증명. 하자 . WLOG가 이라고 가정하십시오 . (그렇지 않으면 와 각 균일 한 비율로 합니다. 이것은 하며 어떤 하위 집합이 최소한 또는 원하는 하한으로 변경되지는 않습니다. 이러한 서브 세트). WLOG 가정 즉 (그렇지 않으면 제는 소소 보유).$a=\lfloor E\, n\rfloor$$a=E\,n$$E$$c_i$$\sum_i c_i \ge E\,n$$E\,t$$t\le a$

크기가 이상인 서브 세트 을 고려하십시오 . 여기서 입니다. 이후 및 제외한 모든 기껏 포함 요소 (각각은 최대로 1이다), 우리가 입니다.$S\subseteq [n]$$n-d$$d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$$\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$$S$$d$$\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

이러한 부분 집합 는$S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ ( )$n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

그러나 ( )이므로 마지막 합계는 적어도 양호한 하위 집합 수에서 원하는 하한입니다. $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$$a/n = E < 1$$~~\Box$