n- 단일 모노톤 CNF에 대한 최단 공식

n 개의 변수 ( ) 에 m 개의 항이있는 모노톤 CNF 공식 은 f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i 형식의 공식입니다. 여기서 각 C i 는 일부 하위 집합의 OR입니다 변수 x 1 , … , x n 및 i의 범위는 1 ~ m 입니다.$x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

예를 들어, 는 4 개의 변수에 2 개의 항이있는 모노톤 CNF 공식입니다.$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

n 개의 변수가있는 n 개의 변수에 대해 주어진 모노톤 CNF 수식과 동일한 기능을 나타내는 동일한 변수 세트에서 가장 짧은 수식 (모노톤이 아니더라도 CNF가 아니더라도 모든 수식이 수행 할 것입니다!)을 찾고 있습니다. 용어와 변수의 개수는 동일합니다.

공식을 구성하는 한 가지 확실한 방법은 주어진 CNF 정의를 확장하여 크기 의 공식을 제공하는 것 입니다. (공식으로 문자열로 기록 할 때 수식의 크기를 수식의 크기로 정의합시다.) 이것이 가장 효율적인 일반 구성인지 또는 모든 n-term monotone CNF에 대해 수식이 있는지 알고 싶습니다. 크기 o $O(n^2)$ 입니다.$o(n^2)$

나는 이것이 가능한지 알고 싶습니다. 나는 알고리즘에 관심이 없습니다. 이것이 가능하지 않은 경우, 반례의 역할을하는 기능이 좋습니다. 문헌에서 답을 찾을 수있는 포인터도 높이 평가됩니다.

편집 : 얇은 부분을 더 명확하게하기 위해 예제를 추가하고 있습니다.

입력 공식이 합니다. 이것은 모노톤 CNF 공식입니다. 동일한 함수를 나타내는 더 짧은 공식은 다음과 같습니다. x 1 ∨ ( x 2 ∧ x 3 ∧ … ∧ x n$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$ .

계수 인수를 사용하여 하한을 얻을 수 있습니다 . n 변수 에 e x p ( n 2 ) n 항 CNF 가 있습니다 (쉽지만 약간의주의가 필요합니다. 초과 계산은 없지만 최대 s 크기 의 e x p ( s log s ) 공식 (또는 회로)이 있습니다.$\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$ .

수식 크기에 대한 2 차 하한을 증명해야하기 때문에 마지막 요소 를 얻는 것이 어려울 것 같습니다. 내 생각에 이것에 대한 몇 가지 기존 기술로는 충분하지 않습니다. O ( n 2 / log n ) 는 4 개의 러시아 식 기법을 사용하여 (적어도 회로 크기에 대한) 정답 일 수도 있습니다 .$\log n$$O(n^2/\log n)$

CNF에 대해 해결중인 클로저를 취하고 하위 가정 제거를 적용하여 주요 함축 세트 (최소한이 하위 집합이어야 함)를 계산할 수 있습니다.

그러나, 임의의 모노톤 CNF의 경우 의 해상도 폐쇄 F는 이고 F는 (부정적인 리터럴이 존재하지 않기 때문에, 어떤 가능한 해상도는 없다). 따라서 최소 CNF는 주요 함의 세트이며, 이는 이미 가지고있는 공식입니다.$F$$F$$F$

물론 새로운 변수를 도입하고 싶지 않다고 가정합니다.

$n$$f$$n$