일반 그래프의 컨덕턴스 및 지름

$G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

더 구체적으로 말하면 지름이 적어도 (또는 최대) 라는 것을 알고 있습니다. 이것이 있다면 컨덕턴스에 대해 무엇을 알려줍니까? 반대로, 컨덕턴스가 최대 (또는 적어도) 인지 알고 있다고 가정 합니다. 이것이 있다면 직경에 대해 무엇을 말합니까? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— 로빈슨
소스

요구하는 속성 은 그래프 컨덕턴스 대신 그래프 확장 이며 여기서 는 됩니다. 당신이 원하는 속성은 어느 것입니까?

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chi Chang-그래프가 규칙적이기 때문에 컨덕턴스와 확장은 의 곱셈 요소까지 같아야한다고 생각합니다 .

d

$d$

— robinson

아, 나는 그래프가 규칙적인 것을 알지 못했습니다. 설명 주셔서 감사합니다.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 : 그래프 확장과 그래프 컨덕턴스가 같은 개념이라고 생각했습니다. 귀하의 의견에 정의에 대한 언급이 있습니까?

— Tim

Hsieh가 지적한 것처럼 컨덕턴스에 대한 정의는 의 요인으로 알고있는 것과 다릅니다 . 여기서 는 정규 그래프의 정도입니다. 이것을 일반 그래프의 에지 확장이라고도합니다. $d$ $d$

가장자리 확장과 지름의 관계는 보여주기가 매우 쉽습니다. 직관적으로 확장기는 완전한 그래프와 "유사"하므로 모든 정점이 서로 "가까이"있습니다. 더 공식적으로

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

사용하여 정점 를 설정하십시오. . 최소한 에서 나오는 가장자리 는 가 정규 이기 때문에 ( 자체 포함) 의 주변 크기는 적어도 . 정점 대해 부터 시작하여이 주장을 귀납적으로 적용 $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ , 우리는 어떤 , 의 홉 이웃은 최소한 크기 . 따라서 모든 정점 의 홉 이웃은 의 홉 이웃과 교차해야합니다 . 그렇지 않으면 그래프가 정점, 모순. 그래서 당신은 $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

물론, 직경에 대한 하한을 갖는 것은 가장자리 팽창에 대한 상한을 의미한다.

작은 직경이 컨덕턴스를 의미한다고 생각하지 않습니다. 일반 그래프를 고집하지 않고 Hsieh의 정의를 사용하는 경우 단일 모서리로 연결된 두 개의 완전한 그래프가 이에 대한 반례를 제공합니다.

— 사쇼 니콜 로프
소스

답변을 게시하려고하는데 지금은 할 필요가 없습니다. 대신 간단하게 답변 해 드릴 수 있습니다.) 좋은 답변 감사합니다!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

나는 총 시간 당신을 희망 난 도망 연구에서 보냈다 :) 최소화 한

— Sasho 니콜 로프

@robinson :이 간단한 사실과 빠른 믹싱은 확장 그래프 일반 그래프의 많은 (가장?) 응용의 기초입니다. 예를 들어 작은 직경의 속성은 로그 공간에서 st 연결을 해결하기위한 응용 프로그램의 기초입니다

— Sasho Nikolov

내 원래의 대답에는 버그가있었습니다. 내가 작성한 주장은 정점 확장에 대한 것이지만 여기서는 가장자리 확장을 사용하고 있습니다. 나는 버그를 수정했고 지금은 조금 더 나 빠졌다

— Sasho Nikolov