제로 타입에 대한 방정식 법칙은 무엇입니까?

면책 조항 : 유형 이론에 관심이 있지만 유형 이론에 대한 전문가는 아닙니다.

간단히 입력 된 람다 미적분에서 0 유형 에는 생성자와 고유 제거기가 없습니다.

\frac{Γ ⊢ M : 0}{Γ ⊢ i n i t i a l (M) : A}

$\frac{\Gamma \vdash M \colon 0}{\Gamma \vdash initial (M) \colon A}$

Denotational 관점에서, 방정식 은 명백합니다 (유형이 의미가있을 때). $initial (M_1) = initial(M_2)$

그러나 그 관점에서 일 때 이라고 추론 할 수 있습니다 . 이 공제가 더 강해 보이지만 그것을 보여주는 특정 모델은 나를 피할 수 없습니다. $M,M' \colon 0$ $M = M'$

(하지만 증명 이론적 직관이 있습니다. 거주자를 얻는 데 사용하는 모순은 중요하지 않지만 모순 증거는 다를 수 있습니다.)

그래서 내 질문은 :

제로 타입에 대한 표준 방정식 법칙은 무엇입니까?
이들 중 어느 것이 또는 법률 로 분류 됩니까? $\eta$ $\beta$

— 오 하드 캄 마르
소스

답변:

빈 유형에 대한 표준 방정식 규칙은 입니다. 집합이 유형으로 해석되는 표준 집합 이론적 모델을 생각해보십시오. 합 유형은 분리 된 합집합이고 빈 유형은 빈 집합입니다. 따라서 두 개의 함수 도 공통 그래프 (즉, 빈 그래프)를 가지므로 동일해야합니다. . $\Gamma \vdash e = e' : 0$ $e,e' : \Gamma \to 0$
빈 형식에는 규칙이 없습니다. 소개 양식이 없기 때문입니다. 유일한 방정식 규칙은 -rule입니다. 그러나 에타 규칙을 얼마나 엄격하게 해석하고자하는지에 따라이를 + 통근 변환 으로 나눌 수 있습니다 . 엄격한 규칙은 다음과 같습니다. $\beta$ $\eta$ $\eta$ $\eta$

$e = i n i t i a l (e)$ $e = \mathrm{initial}(e)$
통근 범위는 다음과 같습니다.

$C [i n i t i a l (e)] = i n i t i a l (e)$ $C[\mathrm{initial}(e)] = \mathrm{initial}(e)$

편집하다:

제로 타입의 분포가 모든 맵 의 동등성을 의미하는 이유는 다음과 같습니다 . $A \to 0$

수정 표기까지의 기록을 보자 에서 독특한지도로 에 과의 쓰기하자 일부지도로 에 . $!_A : 0 \to A$ $0$ $A$ $e : A \to 0$ $A$ $0$

이제, 분배 조건은 동형이 이라고 말합니다 . 초기 객체는 동형에 따라 고유하기 때문에 자체가 초기 객체 임을 의미 합니다. 이제 이것을 사용하여 자체가 초기 객체 임을 보여줄 수 있습니다 . $i : 0 \simeq A \times 0$ $A \times 0$ $A$

이후 초기 개체입니다, 우리는지도 알고 하고 동일하다. $A \times 0$ $\pi_1 : A \times 0 \to A$ $!_A \circ \pi_2$

이제 가 초기 객체 임을 나타내려면 와 사이에 동형이 표시되어야합니다 . 동형의 성분으로 및 를 선택합시다 . 우리는 및 를 보여주고 . $A$ $0$ $e : A \to 0$ $!_A : 0 \to A$ $e \circ !_A = id_0$ $!_A \circ e = id_A$

그 표시 유형의 하나 개의지도가 있기 때문에, 즉각적 , 우리는 항상 신원지도가 있다는 것을 알고있다. $e \circ !_A = id_0$ $0 \to 0$

다른 방향을 표시하려면

\begin{array}{lcll} i d_{A} & = & π_{1} \circ (i d_{A}, e) & Product equations \\ = & !_{A} \circ π_{2} \circ (i d_{A}, e) & Since A \times 0 is initial \\ = & !_{A} \circ e & Product equations \end{array}

$\begin{array}{lcll} id_A & = & \pi_1 \circ (id_A, e) & \mbox{Product equations} \\ & = & !_A \circ \pi_2 \circ (id_A, e) & \mbox{Since $A\times 0$ is initial} \\ & = & !_A \circ e & \mbox{Product equations} \end{array}$

따라서 우리는 동 형사상 을 가지므로 는 초기 객체입니다. 따라서 맵 은 고유하므로 이면 입니다. $A \simeq 0$ $A$ $A \to 0$ $e,e' : A \to 0$ $e = e'$

편집 2 : 상황이 원래 생각했던 것보다 더 예쁘다는 것이 밝혀졌습니다. 나는 Ulrich Bucholz로부터 모든 biCCC가 분배 적이라는 것이 (수학적으로 "retrospectively 명백한") 명백하다는 것을 배웠다. 다음은 귀여운 증거입니다. $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$

\begin{array}{lcl} H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) & ≃ & H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A, C \to (A + B) \times C) \times H o m (B, C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A \times C, (A + B) \times C) \times H o m (B \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) & \simeq & \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A , C \to (A + B) \times C) \times \Hom(B, C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A \times C, (A + B) \times C) \times \Hom(B \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}$

— 닐 크리슈나 스와미
소스

1에 관해서는 : 제로 타입을 초기 객체로 생각합니다. 초기 객체는 여러 개의 화살이있을 수 있습니다 로 그들, 그러나 단 하나의 화살표를 가질 수 밖에 그들을. 다시 말해, 이중 CCC가 0이 하위 터미널임을 암시하는 이유는 즉시 알 수 없습니다. 하나 있습니까?

— Ohad Kammar

예 : 합계가 포함 된 STLC는이를 해석하기 위해 분산 bi-CCC ( )가 필요하고 0에 대한 고유성이 필요하다는 사실 타입은 그것의 널 버전으로 온다. (합계에 대한 제거 규칙의 해석을 적어두면 알 수 있습니다.)

(X \times A) + (X \times B) ≃ X \times (A + B)

$(X \times A) + (X \times B) \simeq X \times (A+B)$

— Neel Krishnaswami

나는 따르지 않는다. 분포는 에 해당합니다. 왜 이 하위 터미널 임을 의미 합니까?

i n i t i a l : 0 \to A \times 0

$initial : 0 \to A\times 0$

0

$0$

— Ohad Kammar

아하! 그 증거에 감사드립니다! 그리고 인내심도!

— Ohad Kammar

편집 관련 2 : 왼쪽 인접 어는 공제 한을 유지합니다. 카테고리 직교 다음, 닫혀 있으면 왼쪽 된 수반 행렬이고 이므로 인 합 .

(-) \times C

$(-)\times C$

(-)^{C}

$(-)^C$

(A + B) \times C

$(A+B)\times C$

A \times C + B \times C

$A\times C + B\times C$

— Ohad Kammar

방정식 은 에 최대 하나의 요소가 있다는 사실 만 포착 하므로 Neel이 전체 스토리를 캡처하고 있다고 생각하지 않습니다. 다음과 같이 빈 유형 을 축성 화합니다 . $e = e' : 0$ $0$ $0$

도입 규칙은 없습니다. 제거 규칙은방정식은 여기서 및 입니다. 동안 어떤 유형입니다. 방정식 하면 이 에 의해 거주 하지만 모든 방정식이 유지되는 것은 합니다. 따라서 동일한 효과를 얻는 또 다른 방법은 방정식

\frac{e : 0}{{m a g i c}_{τ} (e) : τ} .

$\frac{e : 0}{\mathtt{magic}_\tau(e) : \tau}.$

{m a g i c}_{τ} (e) = e^{'} : τ

$\mathtt{magic}_\tau(e) = e' : \tau$

e : 0

$e : 0$

e^{'} : τ

$e' : \tau$

τ

$\tau$

{m a g i c}_{τ} (e)

$\mathtt{magic}_\tau(e)$

0

$0$

e

$e$

x : 0, Γ ⊢ e_{1} = e_{2} : τ

$x : 0, \Gamma \vdash e_1 = e_2 : \tau$ 문맥에 맞지 않기 때문에 아마도 좋지 않을 것입니다. 반면에 에서 까지의 두 가지 형태가 같다는 사실을 더 명확하게 보여줍니다 ( 는 CCC의 산만 함).

0

$0$

τ

$\tau$

Γ

$\Gamma$

— 안드레이 바우어
소스

안녕 Andrej, 당신이 제안하는 방정식은 내가 준 통근 변환에서 파생됩니다. 는 에서 할 수 있습니다. 은 실제로는 발생하지 않아도 왼쪽에. 비유가있다 , 두 가지 모두에서 동일하게 수행하면 대소 문자 분석 결과를 사용하지 않아도됩니다.

m a g i c (e) = e^{'}

$\mathtt{magic}(e) = e'$

C [m a g i c (e)] = m a g i c (e)

$C[\mathtt{magic}(e)] = \mathtt{magic}(e)$

m a g i c (e)

$\mathtt{magic}(e)$

C [c a s e (e, x . e^{'}, y . e^{″})] = c a s e (e, x . C [e^{'}], y . C [e^{″}])

$C[\mathtt{case}(e,x.\;e',y.\;e'')] = \mathtt{case}(e, x.\;C[e'], y.\;C[e''])$

— Neel Krishnaswami

그러나 컨텍스트가있는 프레젠테이션을 더 좋아한다는 사실을 추가해야합니다. 실제로 컨텍스트의 합계 값에 실제로 방정식을 허용하면 가장 깨끗하다고 생각합니다! 통근 변환 기능이있는 게임 인 IMO보다 실제 증명에 훨씬 좋습니다. (IIRC, 이것은 안정적인 코 프로덕트에 대한 추가 가정을 추가하는 것과 동일하지만 모든 모델에 대해이 보유에 대한 관심을 합리적으로 볼 수 있습니다.)

— Neel Krishnaswami

아 예, 훌륭합니다. 통근 전환에 대해 생각하기에는 너무 늦었으므로 그 부분을 쓰지 않은 척했습니다. 이제 오 하드는 자신의 선택을 할 수 있습니다.

— Andrej Bauer

모델 클래스에서 일부 구조적 규칙 ( , 등) 을 검증했습니다 . 내가 준 방정식 세트가 완전하지 않다는 것을 알고 있지만 (복잡한 값과 스택을 가진 CBPV가 필요함) 충분한 방정식이 있으면 완성도를 입증하는 데 사용할 표준 방정식을 최소한 캡처하고 싶었습니다. 다시 말해, 저는 제로 타입에 대한 표준 방정식 법칙을 원했습니다.

η

$\eta$

β

$\beta$

— Ohad Kammar

제로 타입에 대한 표준 방정식 법칙은 없습니다. 논리 학자들은 항상 빈 담론의 세계를 두려워 해 왔으며, 컴퓨터 과학자들은 항상 빈 유형을 두려워했습니다. 빈 유형을 거부하기 위해 비어 있지 않은 유형을 "void"로 지정했습니다.

— Andrej Bauer