금지 된 하위 그래프로 특징 지을 수있는 그래프 클래스를 고려하고 있습니다.
그래프 클래스에 금지 된 하위 그래프의 유한 세트가있는 경우 사소한 다항식 시간 인식 알고리즘이 있습니다 (단 하나는 무차별 대입을 사용할 수 있음). 그러나 금지 된 하위 그래프의 무한 계열은 경도를 의미하지 않습니다. 금지 된 하위 그래프의 무한 목록이있는 클래스에는 인식이 다항식 시간으로 테스트 될 수 있습니다. 코드 및 퍼펙트 그래프는 예제이지만 금지 된 패밀리에는 "좋은"구조가 있습니다.
계급 인정의 경도와 금지 가족의 "나쁜 행동"사이에 어떤 관계가 있습니까? 그런 관계가 존재해야합니까? 이 "나쁜 행동"은 어딘가에 공식화 되었습니까?
답변:
NP-hard 인식 을 갖는 그래프 클래스 에 대한 금지 된 (유도 된) 서브 그래프 목록에 "내재적"복잡성이 있어야한다는 것이 직관적 인 것처럼 보이지만 최근 문헌에서 이러한 직관에 대한 몇 가지 놀라운 부정적인 증거를 발견했습니다.
아마도 가장 간단한 설명은 B. Lévêque, D. Lin, F. Maffray 및 N. Trotignon의 기사에서 가져온 것 입니다.
는 최소 4 개의 길이의 사이클과 3 개의 정점으로 구성되는 그래프의 패밀리로 하자 . 2 는 사이클 의 동일한 정점 u 에 인접하고 2 는 사이클의 정점 v 에 인접하며 , 여기서 u 와 v 는 사이클에서 연속적이지 않으며 다른 모서리가 없습니다.
이제 는 4 개의 꼭짓점 을 추가한다는 점을 제외하고는 정확히 같은 방식으로 구성된 그래프의 모음으로 하자 . 두 개는 동일한 정점 u 에 인접 해 있지만 이전에는 두 개의 정점 v 에 인접 해있다 . 사이클, 여기서 u 와 v 는 연속적이지 않습니다.
금지 된 서브 그래프로서 를 갖는 그래프 클래스 는 다항식 시간 인식을 갖는 반면 , 금지 된 서브 그래프로서 F ' 를 갖는 클래스의 인식 은 NP- 하드이다.
그러므로, 금지 된 유도 된 서브 그래프의 목록이 (NP-) 단단한 인식을 가진 클래스를 만들 때 만족해야하는 일반적인 조건 을 생각하기가 어렵다는 것을 알게 되었습니다. 및 F ' .
@Hugo의 답변은 정말 좋으며 여기에 개인적인 의견을 추가하고 싶습니다.
F 및 F '패밀리의 그래프와 유사한 관련 패밀리가 있습니다. 이 기사에서 가족 B1의 그래프는 일반적으로 피라미드라고합니다. B2 패밀리의 그래프를 일반적으로 프리즘이라고합니다. 이에 대한 설명은 여기 를 참조하십시오 . 유도 된 서브 그래프 검출 문제의 문헌에서, 그것들은 짝수 / 홀수 길이를 갖는 무 코드 사이클 인 짝수 / 홀수 홀을 검출하는데 사용되었다. 유명한 강력한 완전 그래프 정리에 따르면 G와 G의 보수가 홀수 홀을 포함하지 않으면 그래프 G가 완벽합니다.
피라미드와 프리즘의 가족에게는 실제로 그들 사이에 차이가 있습니다. 하나는 세 잎의 유도 된 하위 트리를 가지고 있고 다른 하나는 그렇지 않습니다. 이것을 Chudnovsky와 Seymour가 연구 한 "트리에서 트리"문제라고 합니다. 주어진 3 개의 노드를 포함하는 유도 트리가 있는지 판단하는 것은 다루기 쉬운 반면, "중심 트리 4"문제 는 NP-hard 입니다. (중심 트리는 정도가 2보다 큰 노드가 최대 하나 인 트리입니다.) F와 F '의 차이는 같은 이유로 발생합니다.
그러나 홀홀없는 그래프 (!)처럼 충분히 단순 해 보이는 일부 패밀리에서 그래프를 탐지하는 복잡성을 알지 못하기 때문에 완전한 특성화는 여전히 어려운 것으로 보입니다. 알고리즘을 설계하기위한 일반적인 전략 (분해를 기반으로 함)이 있지만 완벽한 그래프 및 홀없는 그래프와 같이 다항식 시간 알고리즘이 존재한다는 것을 알고있는 가족에게는 특정 구조 정리를 제공해야합니다. 그들. 이것은 일반적으로 가족에 따라 결정되는 과정이며 대부분의 경우 증명이 실제로 길다. ( 여기 에 용지가 90 페이지 이상인 짝수 홀없는 그래프 의 예가 있습니다.)
여전히 트리 내 문제와 같은 의미에서 유도 된 서브 그래프 검출 문제에 대한 분류를 갖는 것이 흥미로울 것입니다.