어떤 계층 구조 및 / 또는 계층 구조 정리를 알고 있습니까?

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현재 TCS의 계층 정리에 대한 설문을 작성 중입니다. 관련 논문을 검색하면서 나는 계층이 TCS와 수학뿐만 아니라 신학과 사회학에서 생물학과 화학에 이르기까지 수많은 과학에서 근본적인 개념이라는 것을 알았습니다. 정보의 양이 엄청 나기 때문에이 커뮤니티의 도움을 요청할 수 있기를 바랍니다. 물론, 나는 당신이 나를 위해 서지 검색을하고 싶지 않지만 오히려 두 종류의 정보를 요구하고 있습니다.

자신의 작업 또는 동료 또는 다른 사람들의 작업의 결과 인 계층 및 계층 정리는 잘 알려져 있지 않다고 생각합니다. 예를 들어 관심이있는 불분명 한 계산 모델에 대한 계층 구조 정리 또는 게임 이론과 관련된 특정 클래스의 계층 구조 일 수 있습니다.
이런 종류의 설문 조사에 반드시 포함되어야한다고 생각되는 계층 및 계층 정리. 이것은 아마도 저에게 이미 알려져있을 것입니다. 그러나 더 중요한 계층 구조와 그 이유를 확인하는 것이 좋습니다. "나는하다고 생각하는이 종류의 수 없이 우리는 이런 종류의 연구를 할 수 없을 것이기 때문에 매우 중요"또는 "너무 잘 알려져 있지 않지만, 논리 기반 TCS 우리가 지속적으로이 계층 구조를 사용하고 내가 간주 중요한 도구입니다. " . 그렇습니다. 저는 논리를 가진 사람들이 언급 할 계층이 많이 있다고 믿지만 문제의 계층에 대해 이야기하고 있습니다. $PH$

업데이트 된 목록을 여기에 보관하겠습니다.

$DTIME$ 계층
$NTIME$ 계층
$SPACE$ 계층
산술 (클린이라고도 함) 계층
초 arithmetical 계층
분석 계층
촘스키 계층
Grzegorczyk 계층 구조 및 관련 : Wainer 계층 (빠른 성장), Hardy 계층
(느린 성장) 및 Veblen 계층
리치의 계층
Axt의 계층 구조 ( Axt63에 정의 된 대로 )
루프 계층 ( MR67에 정의 됨 )
$NC$ ( , ) 계층 $AC$ $ACC$
Sipser83에 정의 된 깊이 계층
다항식 계층 ( ) 및 덜 정제 된 마이어-스톡 마이어 계층 (양자화 사이의 규정 없음) $PH$
지수 계층 ( ) $ELEMENTARY$
$NP$ 중간 계층 (Ladner 's 정리)
튼튼하지 않은 (Arthur-Merlin) $AM$
(결정적 고정 파라미터) 계층과 관련된 교류 W 계층 ( -hierarchy) 및 -hierarchy (W와 파라미터 의존 깊이) $W$ $AW$ $W^{*}$
계수 계층
푸리에 계층
부울 계층 ( 이상 ), 쿼리 계층 ( 이상 ) 과 동일 $NP$ $NP$
GoldreichKNR09 에서 볼 수있는 특성 테스트를위한 계층
별이없는 일반 언어의 도트 심도 계층
$BP_{d}(P)$ 다음의 클래스는 각 입력 비트는 대부분의 시간 D에서 시험되는 부가 조건의 다른 값에 대한 계층 구조를 형성하고, 다항식 크기 분지 프로그램 실밥 $d$
회로 복잡성의 시간 계층
통신 복잡성의 다항식 계층

참고 : 독점적으로 언급하고 싶지 않다면 그렇게 말하십시오. 경험상, 커뮤니티와 새로운 정보를 제공하는 특정인을 언급 할 것입니다.

— chazisop
소스

2

이것은 커뮤니티 위키 질문과 매우 유사합니다. 변환할까요?

— Dave Clarke

Ladner 정리는 P 와 P ^ # P 와 같이 다른 클래스 사이에 무한 계층 구조를 갖도록 일반화 될 수 있습니다 .

— 타이슨 윌리엄스

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"계층 구조"정리, 즉 이분법 정리를 언급 할 수도 있습니다. 이분법 정리는 아마도 전체 조사를 스스로 할 수도 있지만, 적어도 Ladner Theorem과 같은 것들과 함께 언급되어야 할 것입니다.

— Joshua Grochow

1

문제의 계층 구조에 대해서만 묻고 있습니까? "테스트 계층"이라는 개념도 있습니다 ( 예 : arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 참조) .

— Alessandro Cosentino

1

예, 복잡성 클래스 계층 만 고려됩니다. 이들로 제한 되더라도 정보를 수집 할 수있는 사람이 많이 있습니다.

— chazisop

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푸리에 계층 구조는 정의 " Yaoyun시, 양자 및 고전 장단점 ."

로부터 복잡성 동물원 :

$\mathsf{FH}_k$ 는 수준의하다 마드 게이트와 계산 기준을 유지하는 다른 모든 게이트 가있는 다항식 크기 양자 회로의 균일 한 제품군으로 해결할 수있는 문제의 클래스입니다 . $k$

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ 에는 Kitaev의 위상 추정 알고리즘 때문에 팩토링이 포함되어 있습니다 .

푸리에 계층이 오라클에 대해 무한하다는 것을 보여주는 것은 공개적인 문제입니다. 즉, 는 엄격하게 포함되어 있습니다. $\mathsf{FH}_k$ $\mathsf{FH}_{k+1}$

— Robin Kothari
소스

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- "반 계층 구조"라인을 따라, Borodin의 갭 정리 는 언급 할 가치가 있습니다.

정리. 과 같은 모든 계산 가능한 함수 에 대해 전체 계산 가능한 되도록 . $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

이것은 가 시간 구성 가능하지 않다는 점을 제외하고 시간 계층 정리와 모순된다 (실제로 우리는 대부분의 복잡성 계층의 진술에서 구성 가능성 가정을 가져야한다). $g$

-다음과 같은 일반적인 시간 계층 구조의 흥미로운 기능도 있습니다.

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

(시간 문제는 비트의 어드바이스를 사용하여 타임머신 으로도 성공적으로 해결할 수 없습니다 . 증명은 쉽습니다. 는 비트의 조언을 두 번째 입력으로 취하는 타임 머신을 나열합니다 . 를 로 나누는 를 정의합니다. 여기서, 실행 하고 반대 답변을 출력합니다. 그런 다음 입니다. $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

-특정 상황에서 알려진 시간 계층 구조가없는 것이 개방형 문제로 간주되어야합니다. 예를 들어 입니까? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— 3 개정
소스

2

그것은인가 ? 그렇지 않으면 그 문장은 흥미롭지 않다 : 단지 선택 .

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Sasho Nikolov

@Sasho, 그렇게 나타납니다. Borodin의 갭 정리 (링크를 통해)에 대한 진술은 많은 것을 말합니다.

— 다니엘 Apon

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Complexity Zoo는 몇 가지 계층을 제공합니다 . 그중에서도 Counting Hierarchy와 Boolean Hierarchy는 아직 인용되지 않았습니다.

[편집] 제 대답을 좀 더 유익하게하기 위해, 계수 계층의 빠른 정의.

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

그런 다음 다항식 계층 구조에서 는 로 정의됩니다 . $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

계수 계층은 Wagner [Wag86]에 의해 정의되었습니다. 역치 회로 이론과의 연계는 Allender & Wagner [AW93]에 의해 발견되었습니다. 훨씬 최근에, Bürgisser [Bür09]는 Valiant의 모델을 Shub와 Smale 의 tau- 추정 과 연관시키기 위해 계산 계층을 사용했습니다 . 특히 그는 추측이 영속에 대한 초 다항식의 하한을 의미한다는 것을 증명했다 . $\tau$ $\tau$

[Wag86] KW 바그너. 간결한 입력 표현과 조합 문제의 복잡성 . Acta Mathematica 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] E. Allender & KW Wagner. 계층 구조 계산 : 다항식 시간 및 일정 깊이 회로 . 컴퓨터 과학의 최신 동향 , 469-483, 1993.
[Bür09] P. Bürgisser. 정수 정의 및 산술 회로 하한 증명 . 계산 복잡성 18 (1), 81-103, 2009.

— Bruno
소스

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Goldreich et. 알. 속성 테스트에 대한 계층 정리가 있습니다.

Oded Goldreich, Michael Krivelevich, Ilan Newman, Eyal Rozenberg : 속성 테스트를위한 계층 정리. 속성 테스팅 , 컴퓨터 과학 강의 노트, Vol. 6390, pp. 289-294, Springer, 2010.

또한에 ECCC .

— 요나탄
소스

여기 에서 대부분의 속성 은 양자 모델에서 쿼리를 필요로합니다. 이것은 양자의 속성 테스팅에도 적용된다는 것을 보여주기 위해 답의 계층 정리 증명에 연결될 수 있습니다. (실제로 테스트하기 위해 쿼리를 필요로하는 하나 이상의 속성 과 계산 가능한 이있는 모든 자연 계산 모델의 경우 테스트 할 수있는 속성이 있습니다. 쿼리).

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Artem Kaznatcheev

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Sipser는 내의 깊이 계층 구조를 보여주었습니다. 즉, 폴리 크기의 깊이 회로는 폴리 크기의 깊이 회로 보다 더 강력 합니다. $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser, M. Borel 세트 및 회로 복잡성 . STOC 1983.

— 조슈아 그로 호프
소스

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Dieter van Melkebeek 과 공동 저자는 무작위 화를 포함하여 조언이있는 시맨틱 모델을위한 시간과 공간 계층을 가지고 있습니다.

Dieter van Melkebeek, Konstantin Pervyshev : 한 번의 조언으로 구성된 일반적인 시간 계층 . 계산 복잡성 16 (2) : 139-179 (2007)
Jeff Kinne, Dieter van Melkebeek : 무작위 및 기타 시맨틱 모델에 대한 공간 계층 결과 . 계산 복잡성 19 (3) : 423-475 (2010)

— 타이슨 윌리엄스
소스

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다음은 조언이있는 시맨틱 클래스의 계층 구조입니다. 특히, ZPTIME 및 RTIME의 경우.

랜스 포트 노우, 라훌 산타 남, 루카 트레비 산 시맨틱 클래스의 계층 구조 . STOC'05에서.

— 마르코스 빌라 그라
소스

10

실수에 대한 Zheng-Weihrauch 계층 구조가 있습니다

X. Zheng과 K. Weihrauch. 실수의 산술 계층 . 수학 논리 분기 별 Vol. 47 (2001), No.1 51-65.

— 어떤 사람
소스

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L. Adelman과 K. Manders에 의해 1975 년 논문에 정의 된 클래스가 있는데 , 이는 클래스의 다이 오판 틴 유사체입니다 . 언어 은 포함됩니다. 와 같이 다항식 가있는 경우 와 같은지 여부 는 공개 된 문제입니다. 이 평등은 수 이론과 컴퓨터 과학 사이의 연결을 보여줍니다. $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

다항식 계층 구조의 "디오 판틴 계층 구조"라고하는 다이 오판 틴 유사체가 있습니다. 다항식과 다이 오판 틴 계층은 서로 얽혀 있습니다 :

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Alexander Knop
소스

doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 또는 doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13 을 의미 합니까?

— András Salamon

D

$D$ 는 두 번째 (Diophantine Complexity)에서 정의됩니다.

— GMB

@ AndrásSalamon Links는 작동하지 않는 것 같습니다.

8

또 다른 엄격한 계층 : 각 비트를 제한된 횟수 만 테스트하는 분기 프로그램. 더 많은 테스트가 허용 될수록 분기 프로그램의 클래스가 더 커집니다. 일반적으로 분기 프로그램은 다항식 크기로 제한됩니다. BP _d (P)는 각 비트를 최대 회 테스트 할 수있는 다항식 크기 분기 프로그램 클래스입니다 . $d$

이 L / 폴 의 조합 인 BP의 _D (P) 전체에 걸쳐 D 동안 BP, _D-1 (P) BP _D (P)마다 D . $\subsetneq$

— 개정판
소스

8

에서 매개 변수 복잡성 이론에만 이미 언급하지만 여러 계층이있다 -hierarchy 나타납니다 종종 출판물은. 다른 것들은 : $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ 계층 구조
$\mathsf{AW}$ 계층 구조
$\mathsf{EW}$ 계층 구조
$\mathsf{LOG}$ 계층 구조
$\mathsf{M}$ 계층 구조
$\mathsf{S}$ 계층 구조
$\mathsf{W^∗}$ 계층
$\mathsf{W^{func}}$ 계층 구조

그것들은 모두 매개 변수화 된 복잡성 이론, Flum and Grohe, Birkhäuser, 2006에 설명되어 있습니다.

— Martin Lackner
소스

7

이것이 당신의 기준에 맞는지 확실하지 않지만, 별이없는 정규 언어 의 점-깊이 계층 이 있습니다.

— 흠
소스

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회로 크기의 계층 구조는 이전 질문을 참조하십시오 .

— 2 개 개정판
소스

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무한한 나무의 정규 언어 이론은 현재 열려있는 많은 질문과 함께 현재 연구되고있는 여러 계층을 일으켰습니다.

무한한 나무에서 오토마타를 사용할 때, 비 결정적 패리티 오토마타는 모든 정규 언어의 ininite 나무를 표현할 수 있고 수용 조건의 구조는 Rabin 또는 Müller와 같은 다른 것보다 단순하기 때문에 패리티 조건 (또는 Mostowski 조건)이 특히 중요합니다. .

모든 패리티 마톤가 갖는 랭크 여기서 및 , 수용 상태의 구조를 설명. 언어 따라서, 랭크의 (DET / ND / ALT) 오토 마톤에 의해 인식 가능한 우리는 말할 받는 속하는 - 레벨 제 (각각)의 : $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

결정적 Mostowski 계층 (일부 언어는 아님)
비 결정적 Mostowski 계층
대체 Mostowski 계층

대체 계층 구조의 레벨 (즉, 은 Büchi와 co-Büchi 모두 정의 가능)은 취약한 레벨에 해당하며, 약한 교대 오토마타를 특징으로합니다. $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

약한 인덱스 계층 (일부 언어는 아님)

이러한 모든 계층 구조 (결정 론적 계층 구조 제외)에서 특정 정규 언어 에 대한 수준의 멤버 자격 결정은 공개적인 문제입니다. 이러한 계층과 토폴로지 분류 (Wadge 계층 및 Borel 계층이라고도 함) 사이의 연결은 몇 가지 개방 된 문제를 일으켰습니다. 예를 들어, 약한 인덱스 계층과 Borel 계층이 일치한다고 추측됩니다. 이러한 모든 계층 구조는 엄격한 것으로 알려져 있으며, 레벨을 결정하는 특별한 경우 (특히 낮은 레벨 또는 입력 결정 론적 오토 마톤)가 최근에 해결되었습니다. $L$

— dkuper
소스

4

제안서 증명 복잡도에는 회로 복잡도와 유사한 계층 구조가 있습니다. 예를 들어 제안 지붕 시스템은 와 유사하고 대한 -Frege 증명 시스템은 회로 복잡성 클래스 와 유사합니다 . $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

이론 등과 같은 경계 산술에는 계층 구조도 있습니다 . $\mathsf{S^i_j}$

— 카베
소스

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다음은 Tomoyuki Yamakami의 컨텍스트없는 언어 를 위한 새로운 계층입니다 .

그는 비 결정적 푸시 다운 오토마타와 튜링의 개념, 그리고 많은 일을 할 수있는 개념으로 오라클 메커니즘을 소개합니다. 그런 다음 다항식 계층 구조와 유사한 CFL (Context-free languages)에 대한 새 계층 구조가 구성됩니다. 예를 들어 , 등입니다.이 모든 것의 흥미로운 부분은 다항식 계층 구조가 축소 된 경우에만 CFL 계층 구조의 축소가 발생한다는 것입니다. $CFL$ $CFL^{CFL}$

— 마르코스 빌라 그라
소스

3

OP (GoldreichKNR09)에서 언급 한 글 머리 기호 중 하나에 대해 자세히 설명합니다. 속성 테스트 및 근접성 증명에는 쿼리 복잡성, 적응성 또는 라운드 수에 대한 테스트 가능성과 관련된 여러 계층 구조 정리가 있습니다 ( 근접). 예를 들어

속성 테스트에 대한 계층 정리 , Oded Goldreich, Michael KrivelevichIlan Newman 및 Eyal Rozenberg, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [OP에 의해 언급 됨]
대화 형 근접 증명을위한 계층 정리 , Tom Gur 및 Ron Rothblum, 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
크기가 의심스러운 쿼리 복잡성에서 속성을 테스트하기위한 계층 정리 , Oded Goldreich, 2018. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
Clément Canonne 및 Tom Gur, 2018 년 부동산 테스트를위한 적응성 계층 정리 https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— 클레멘트 C.
소스

첫 번째 답변 (GoldreichKNR09)에 중점을 둔 이 답변에 대한 포인터 .

— Clement C.

3

에서 cs.stackexchange에이 질문에 , 나는 알게되었다 정규 언어의 속 계층 구조 . 기본적으로 DFA 그래프가 포함될 수있는 최소 속 표면을 기준으로 일반 언어의 특성을 지정할 수 있습니다. [1]에서 임의로 큰 속의 언어가 존재하며이 계층 구조가 적절하다는 것을 알 수 있습니다.

본 판테, 기 illa, 플로리안 델 루프. " 일반 언어의 속. "Computer Science 28.1 (2018)의 수학적 구조 : 14-44.

— 흠
소스

2

다항식 계층 계산, 짧은 #PH. 첫 번째 수준은 #P, #NP ... 등입니다.

— 테이 펀 페이
소스

1

통신 복잡도 다항식 계층 Babai, 프랭클 시몬에 의해 정의 된 (참조 : 여기에 원지를 상기 유료화없이 여기 ). 이 계층의 중요성은 과대 평가하기 어렵습니다. 우선, 분리 기능을 계층 구조를 도입 한 동일한 논문에서 BFS에 의해 분리 (disjointness) 기능이 도입되었고,이 분리 (disjointness)는 coNP - 완전한 문제 로 매우 자연스럽게 나타났다 . 당신이 알고있는 것처럼, disjointness는 통신 복잡성 기능. 둘째, 통신 복잡성에서 다항식 계층 구조에 대한 하한을 증명하는 것은 TCS의 다른 영역에서 중요한 의미를 갖는 주요 개방 문제입니다 (예 : 이 백서 및 관련 내용 참조). $^{cc}$

— Denis Pankratov
소스

덧붙여서, 나는 coNP가 의사 소통의 복잡성을 의미하게하기 위해 귀하의 의견을 편집했습니다.

— chazisop

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모호한 다항식 계층 고려 여기서 참조 를 위해 여기에 오리지널 기준이 모호한 다항식 계층 (paywalled). 부울 계층 BH 및 와 같은 클래스 를 통해 클로저와 관련된 훌륭한 결과를 얻고 차이점을 설정하는 동안 모호하지 않은 계산에 대한 연결을 탐색 할 수 있습니다. $D_{p}$

작성자 (원본 참조) 상태 인 및 클래스 는 및 관련 결과를 제공합니다 . 모호하지 않은 회로를 사용하면 다르게 특성화 할 수 있습니다. 또한 위의 계층 구조와 관련하여 Promise Unambiguous Hierarchy가 있습니다. 모호하지 않은 다항식 계층 구조에 대한 낮은 결과- " 에 대해 희소 튜링 완성자가 설정되어 있으면 계층 구조가 낮은 수준으로 또는 모호하지 않은 약속으로 축소됩니다." $NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

부울 접속사의 추가 연구를 위해 관련 및 그래프 동형은 높은 계층 저, 그리고 또한, 참조 위키 백과 .

— 개정 사용자
소스

0

모호한 측면에 대한 자세한 내용 : 유한 모델 이론의 고정 소수점 논리에 대한 2 차 계층 구조 정리. 또 다른 계층 정리를 보라 .

— 막스 쿠 비에르 스키
소스