가중치가 주어진 경우, 각 가중치를 상위 가중치의 합으로 대체하는 O (V + E) 알고리즘이 있습니까?

물론 문제는 이중 계산입니다. 특정 클래스의 DAG = 트리 또는 직렬 병렬 트리에 대해 수행하기가 쉽습니다. 합리적인 시간에 일반 DAG에서 작동하는 유일한 알고리즘은 대략적인 알고리즘 (시놉시스 확산)이지만 정밀도를 높이는 것은 비트 수에 기하 급수적이며 많은 비트가 필요합니다.

배경 :이 작업은 BBChop (http://github.com/ealdwulf/bbchop)의 확률 계산의 일부로 간헐적 인 버그 (예 : '베이지 버전' git bisect '). 따라서 해당 DAG는 개정 내역입니다. 즉, 모서리 수가 노드 수의 제곱에 접근 할 가능성이 적다는 것을 의미합니다. 일부 작은 k의 경우 노드 수의 k 배보다 작을 수 있습니다. 불행히도 개정판 DAG의 다른 유용한 속성을 찾지 못했습니다. 예를 들어, 가장 큰 triconnected 구성 요소가 노드 수의 제곱근으로 만 커지기를 바랐지만 슬프게도 (최소한 Linux 커널 역사에서는) 선형으로 커졌습니다.

정점 가중치는 임의의 양의 정수일 수 있고,보다 정확하게는 최대 2 ⁿ 인 양의 정수일 수 있다고 가정합니다 . 임의의 방향성 그래프의 전 이적 폐쇄가 O ( n ² ) 시간 내에 계산 될 수 없다면 , 현재 작업은 약간 약한 시간 바운드 O ( n ² ) 에서도 수행 될 수 없으며 , 여기서 n 은 꼭짓점의 수를 나타냅니다. ( 전 이적 클로저에 대한 O ( n ² )-시간 알고리즘은 획기적인 것입니다.) 이것은 다음 주장의 반대입니다.

청구 . 현재 작업이 시간 O ( n ² ) 에서 수행 될 수있는 경우, 인접 행렬로 주어진 임의의 방향 그래프의 전이 폐쇄는 O ( n ² ) 시간 으로 계산 될 수 있습니다 (일부 합리적인 계산 모델을 가정).

증거 . 전처리로서, 우리 는 DAG G ' 를 얻기 위해 시간 O ( n ² ) 에서 주어진 지향 그래프 G 의 강하게 연결된 성분 분해를 계산한다 . 우리의 전이 폐쇄 계산할 수있는 경우주의 G를 '우리의 전이 폐쇄 재구성 할 수 G를 .

이제 가중치 2 ⁱ 를 DAG G ' 의 각 정점 i 에 할당하고 현재 문제에 대한 알고리즘을 사용하십시오. 이어서 각 정점에 할당 된 합계의 이진 표현 난 의 조상 정확히 설명 세트 I 말해서, 우리는의 전이 폐쇄 계산 한 G를 '. QED .

주장의 반대도 다음과 같이 주장한다 : 만약 주어진 DAG의 전 이적 폐쇄를 계산할 수 있다면, 시간 O ( n ² )의 추가 작업으로 필요한 합계를 계산하는 것이 쉽다 . 따라서 이론적으로 Coppersmith-Winograd 행렬 곱셈 알고리즘 에 기반한 전이 폐쇄 알고리즘을 사용하여 시간 O ( n ^2.376 ) 의 현재 작업을 수행 할 수 있습니다 .

편집 : 개정 2 및 이전 버전에서는 정점 가중치 범위에 대한 가정을 명시하지 않았습니다. Per Vognsen은 이러한 암묵적인 가정이 합리적이지 않을 수 있다고 의견에 지적했다. 응용 프로그램에서 임의 가중치가 필요하지 않더라도이 답변은 다음과 같은 추론에 따라 일부 접근법을 배제 할 수 있다고 생각합니다.“이 접근법이 효과가 있으면 임의 가중치에 대한 알고리즘을 제공 할 것입니다. 폐쇄는 시간 O ( n ² ) 로 계산 될 수 있습니다 .”

편집 : 개정 4 및 이전 버전에서는 가장자리 방향이 잘못되었습니다.

이것은 Tsuyoshi의 답변에 대한 나의 의견의 확장입니다. 나는 그 질문에 대한 부정적인 대답이 무조건적 일 수 있다고 생각한다.

$\omega(n)$$O(n)$

$G_{r,c}$$r \times c$$r$$r$$c$

$r = (\log\ n)/2$$c = 2n/\log\ n$

맨 아래 줄의 각 정점은 의존합니다.$\sqrt{n}$$\omega(\log\ n)$

$\omega(n)$$2c(r-1) = O(n)$

요점은 근본적인 부분적 순서가 조밀 한 것으로 보이지만 DAG는 전 이적 감소를 나타내며, 이는 드문 일 수 있습니다.

이것은 잘못된 것이며 질문에 대한 오해에 근거합니다. 참을성있게 내 오류를 지적한 Tsuyoshi에게 감사드립니다. 다른 사람들이 같은 실수를 저지르는 경우를 대비해 떠납니다.

$k$

$k$$O(k|V|)$

$O(|V|+|E|)$

이 방법은 상대적으로 자주 발생하지 않는 한 많은 선행 선행 노드가있는 노드가있는 경우에도 잘 작동합니다.