인수 분해로 표현되는 정수를 추가하는 것은 인수 분해만큼 어렵습니까? 참조 요청

다음 결과에 대한 참조를 찾고 있습니다.

인수 분해 표현에 두 정수를 추가하는 것은 일반적인 이진 표현에서 두 정수를 인수 분해하는 것만 큼 어렵습니다.

(이것은 내가 언젠가 궁금해했던 것이기 때문에 인쇄본에서 마침내 보았을 때 흥분되어 있기 때문에 그것이 확실하다고 확신합니다.)

"인수 분해 된 표현에 두 개의 정수를 더하는 것"은 문제입니다. 와 의 두 개의 소인수를 고려하면 소인수를 출력합니다 . 이 문제에 대한 순진한 알고리즘은 표준 이진 표현에서 인수 분해를 서브 루틴으로 사용합니다.y x + $x$$y$$x+y$

업데이트 : Kaveh와 Sadeq에게 감사의 말을 전합니다. 분명히 더 많은 증거를 얻을 수는 있지만 참조 를 찾는 데 더 많은 도움을주고 싶습니다 . 나는 흥미롭고 자주 논의되지 않은 다른 아이디어가 담긴 논문에서 그것을 읽은 것을 기억하지만, 다른 아이디어가 무엇인지 또는 일반적으로 논문이 무엇인지는 기억하지 않습니다.

복잡성 수준에서 (FactSum 호출 수)까지 문제를 해결할 수 있다고 가정 및 C를 따라 폐쇄 로그 -iteration (일명 로그 우리 계산할 수 있다면 예 (-bounded 재귀) X * , Y * 이진 함수이다, 우리가 할 수있는 계산 된 x 1 ∗ … ∗ x log n ) P를 포함합니다 (이 마지막 조건은 더 약해질 수 있습니다). 우리는 인수 분해가 C 에도 있음을 보여줍니다 .$C$$C$$\log$$\log$$x*y$$*$$x_1*\ldots*x_{\log{n}}$$\mathsf{P}$$C$

각 숫자는 2 의 제곱의 합으로 쓸 수 있습니다 . 그들 각각은 쉽게 고려할 수 있습니다.$\log n$$2$

이제 숫자가 주어지면 그 숫자의 거듭 제곱으로 쓴 다음 각 인수를 인수 분해 표현으로 쓴 다음 알고리즘을 사용하여 인수 분해 표현에서 합산합니다. 결과는 입력 번호를 고려한 것입니다.

이것은 인수 분해가 문제 FactSum의 반복에 환원 될 수 있음을 보여줍니다 . 따라서 인수 분해는 P FactSum에 있습니다 (그리고 여기서 P 는 N C 1 로 대체 될 수 있다고 생각 합니다).$\log$$\mathsf{P}^{\text{FactSum}}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC^1}$

나는 참조를 알지 못하지만 증거를 생각해 냈다.

입력시 두 개의 요인으로 된 오라클 가 있다고 가정하십시오.$\mathcal{O}$

$x = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

과

$y = \prod_{i=1}^m q_i^{\beta_i} \enspace$,

의 인수 분해를 출력합니다 .$x+y$

에 액세스 하면 다음 재귀 프로 시저를 사용하여 다항식 시간으로 임의의 수 N 을 인수 분해 할 수 있습니다 .$\mathcal{O}$$N$

절차 계수 ( )$N$

1. 주요 찾기 있도록 N / 2 ≤ X ≤ N - 1 , 및하자 y는 = N을 - X를 .$x$$N/2 \le x \le N-1$$y = N - x$
2. 가 소수가 아닌 경우 재귀 호출 계수 ( y ) 및 출력 O ( x , f a c t o r ( y ) ) 로 y 의 인수 분해를 가져옵니다 .$y$$y$$y$$\mathcal{O}(x, factor(y))$
3. 다른 출력 .$\mathcal{O}(x,y)$

분석:

충분히 큰 N에 대한 소수 정리 에 의해 N / 2 와 N - 1 사이에 많은 소수가 있습니다. 경우 N은 더 프라임이 간격에 빠진다하지 너무 작아서, 당신은 인수 분해 할 수 N을 쉽게. 따라서 1 단계가 통과됩니다.$N$$N/2$$N-1$$N$$N$

2 단계에서 AKS 또는 다른 다항식 시간 우선 성 테스트를 사용할 수 있습니다 .

재귀 횟수는 단순히 . 각 단계에서 N 은 (최소한) 반으로 자르기 때문입니다$O(\lg(N)) = O(|N|)$$N$

PS-1 : Goldbach의 추측 이 짝수 (또는 홀수) 정수의 절차 속도를 높이는 데 도움이 될 수 있다고 가정 합니다.

PS-2 : 사용 된 감소는 Cook 감소입니다. Karp 축소를 사용하여 증거를 수행하는 데 관심이있을 수 있습니다.

이 답변은 이전 답변 과 무관 합니다. 댓글에서 @Kaveh의 관심사를 해결하는 것이 목표입니다.

우리가 숫자를 원한다면 쉽게 할 수 있지만 log log n 숫자로 도 어떻게하는지 알 수 없습니다 .$\log n$$\log \log n$

비슷한 문제가있었습니다.

사용 된 감소는 Cook 감소입니다. Karp 축소를 사용하여 증거를 수행하는 데 관심이있을 수 있습니다.

(Karp 축소는 결정 문제에 대한 것입니다. 여기에서 Karp 축소 란 단일 쿼리 쿡 감소를 의미합니다. 비표준 용어에 대해 죄송합니다!)

아래의 답변은 /math/54580/factoring-some-integer-in-the-given-interval 의 토론을 기반으로합니다 .

이 답변에서, 나는 인수 분해 로 표현 된 두 정수의 합 을 인수 분해 하는 결정 론적 다항식 시간 카프 감소를 제공 할 것이다 . 그러나 한 가지주의 할 점이 있습니다. 증명 과정에서 다음과 같은 수의 이론적 가정을 사용합니다.

Cramér의 결론 : 두 개의 연속 소수 과 p n + 1 에 대해 p n + 1 - p n = O ( log 2 p n )가 됩니다.$p_n$$p_{n+1}$$p_{n+1} - p_n = O(\log^2p_n)$

하자 입력, 그리고하자 N = | N | = O ( 로그 N ) . Cramér의 추측에 따르면 충분히 큰 N 에 대해 간격 [ N - log 3 N , N ] 에 최소 하나의 소수가 있습니다. 이 구간의 길이는 log 3 N = O ( n 3 ) 입니다. 따라서이 프라임은 무차별 대입에 의해 결정 론적 다항식 시간 에서 찾을 수 있습니다 .$N$$n=|N|=O(\log N)$$N$$[N - \log^3N, N]$$\log^3N = O(n^3)$

하자 있는 소수 수 [ N - 로그 (3) N , N를 ] 및하자 Y는 = N - X를 .$x$$[N - \log^3N, N]$$y=N-x$

이후 , 우리는이 | y | = O ( log log N ) = O ( log n ) 이므로 y 는 쉽게 분해 할 수 있습니다 (예 : 시험 분할 사용 ).$0 \le y \le \log^3N$$|y| = O(\log \log N) = O(\log n)$$y$

마지막으로, 인수 분해와 함께 를 오라클에 제출 하고 N = x + y 의 인수 분해를 얻습니다 .$(x,y)$$N = x+y$