작은 유한 필드에 대한 빠른 컨볼 루션

길이의 순환 회선에 대한 가장 잘 알려진 방법은 무엇입니까 작은 필드 위에이 즉시 | F | ≪ n ? 나는 특히 일정한 크기의 필드 또는 F = F 2에 관심이 있습니다. 일반적인 점근 비 효율성 진술 및 참고 문헌은 대단히 높이 평가됩니다.$n$$|\mathbb{F}| \ll n$$\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

배경 : 하자 필드, 그리고 N > 0 . 우리는 벡터의 생각 유 ∈ F N 색인 좌표 것으로 Z N을 .$\mathbb{F}$$n > 0$$u \in \mathbb{F}^n$$\mathbb{Z}_n$

(환상) 회선 길이 위에 F는 변화가 취하는 U를 , V ∈ F , N 및 출력 U * V ∈ F , N을 ,에 의해 정의 된 ( 유 * V ) I : = Σ J ∈ Z N V J U I - J , 위에 인덱스 산술 Z의 N .$n$$\mathbb{F}$$u, v \in \mathbb{F}^n$$u * v \in \mathbb{F}^n$

큰 필드에서 순환 컨볼 루션을 수행하기 위해 널리 사용되는 방법은 컨볼 루션 정리 를 사용하여 이산 푸리에 변환 (DFT) 수행 및 FFT 알고리즘 사용에 대한 문제를 줄이는 것입니다.

작은 유한 필드의 경우, 기본 번째 근음이 없기 때문에 DFT는 정의되지 않습니다 . 하나는 내장하여 주위를 얻을 수 있습니다 * 더 큰 유한 필드에 문제가 있지만이 진행하는 가장 좋은 방법이라고 분명하지 않다. 이 경로를 사용하더라도 누군가가 세부 사항을 이미 해결했는지 (예 : 사용할 더 큰 필드 및 적용 할 FFT 알고리즘 선택) 알고 있는지 확인하는 것이 좋습니다.$n$$^*$

추가 :

컨볼 루션을 '내장'한다는 것은 두 가지 중 하나를 의미합니다. 첫 번째 옵션 : 원하는 기본 통일 근이 인접한 확장 필드로 전달하여 컨볼 루션을 수행 할 수 있습니다. $^*$

두 번째 옵션 : 시작 필드가 주기적이면 더 큰 특성 의 순환 필드 에 전달할 수 있습니다. 벡터가 F p ' 에있는 것으로 간주하면 "랩 어라운드"가 발생하지 않습니다. (비공식적이지만 F 2에 대한 컨볼 루션을 계산 하려면 Z에 대해 동일한 컨볼 루션을 명확하게 수행 한 다음 답변 mod 2를 취할 수 있습니다.)$\mathbb{F}_{p'}$$\mathbb{F}_{p'}$
$\mathbb{F}_2$$\mathbb{Z}$

또한 추가 :

FFT 및 관련 문제에 대한 많은 알고리즘은 특히 '좋은' 값에 대해 잘 작동합니다 (이 상황을 더 잘 이해하고 싶습니다). $n$

그러나 특수 값 을 사용하려고 시도하지 않으면 순환 컨벌루션 문제는 기본적으로 ( n의 선형 블로우 업을 포함하여 쉽게 줄임으로써 ) 일반 컨벌루션과 동일합니다. 이는 다시 F p에 대한 계수를 갖는 다항식의 곱과 같습니다 . $n$$n$$\mathbb{F}_p$

이 동등성에 의해, 예를 들어, 확장 필드 접근법을 사용하여 ~ O p ( n ) 의 회로 복잡도를 얻는 폰 자르 가텐 (Von zur Gathen) 및 게르하르트 (Cantor의 연구에 기초한) 논문 의 결과 를 사용할 수있다 . 그들은 특히 명확한 방법으로 IMO로 경계를 명시하지 않지만 F 2의 경우에도 경계가 n ⋅ log 2 n 보다 나쁩니다 . 더 잘할 수 있습니까?$\tilde{O}_p(n)$$n \cdot \log^2 n$$\mathbb{F}_2$

Alexey Pospelov 의 최근 논문 은 최신 기술을 제공하는 것으로 보입니다. (내가 인용 할 범위를 달성 한 것은 처음이 아니지만 임의의 필드에 대해 통일 된 방식으로 달성하며, 마찬가지로 경계를 명확하게 설명합니다 (3 페이지 참조).

우리 수 곱하기 두 학위 - N의 임의의 필드 위에 다항식 F 사용 O를 ( N 로그 N ) 에서 승산 F 및 O ( N 로그 N 로그 로그 없음을 ) 에 추가 된 F . 이것은 원래 Schonhage-Strassen (char. ≠ 2 ) 및 Schonhage (char)입니다. 내가 언급 한 바와 같이, 이것은 순환 컨볼 루션에 대한 동일한 경계를 의미한다. 또한 Pospelov는 "우리는 현재 연속 DFT 응용 프로그램을 기반으로하지 않는 [상한]의 상한을 가진 알고리즘을 알고 있지 않습니다 ..."$\bullet$$n$$\mathbb{F}$$O(n \log n)$$\mathbb{F}$$O(n \log n \log \log n)$$\mathbb{F}$$\neq 2$

Cantor와 Kaltofen은 이러한 결과를 일반화하여 필드가 아닌 임의의 대수에 대한 경계를 나타냅니다.$\bullet$

F 가 적절한 차수의 이산 푸리에 변환을 지원하는경우, 즉 F 에 N 이 충분히 큰 ( N = O ( n ) 라고 생각) N 이 2 또는 3의 거듭 제곱인 기본 N 번째 루트의 근본을갖는경우, 우리는 함께 다항식 곱셈을 할 수 O ( N ) 곱셈과 O ( N 로그 N ) 추가합니다. 다른 특수 특성이있는 필드에 대해 다양한 기타 개선이 가능합니다.$\bullet$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}$$N$$N$$N = O(n)$$N$$O(n)$$O(n \log n)$

그것은 그럴듯한 것 같다,하지만 알 수없는, Furer의 최근 여부를개선정수의 곱셈의이 (책망빠른 다항식의 곱셈 알고리즘에 리드를 도울 수 드 등.에 의해 다른 방법으로)을 통해 유한 필드는 말한다. 누구든지 댓글을 달 수 있습니까?$\bullet$

Todd Mateer의 논문 은 또한 FFT 문헌을 이해하고 다항식 곱셈에 대한 응용을 이해하는 데 훌륭한 자료 인 것 같습니다. 하지만 원하는 것을 찾기 위해 더 많은 것을 파야합니다.