수축이 그래프의 호 수를 최소화하는 일치 항목 찾기

혼합 그래프 주어 $G=(V,E,A)$ 가장자리 $E$ 원호 $A$ 에서 매칭 발견 $E$ 그 최소화에 아크의 수 $G/M$ , $G/M$ 로부터 얻어지는 $G$ 유사한 정점 수축 및 제거를 평행 호.

이 문제의 결정 버전이 NP- 완전합니까? 그것은 문헌에서 연구 되었습니까?

나는 당신의 의도가 E의 방향이없는 가장자리 와 A의 호가 평행을 이루도록 허용할지 여부를 알지 못하지만 결국 중요하지 않습니다. 이 답변에서는 모서리와 호가 평행을 이루지 않는다고 가정합니다.

각 호에 대한 특별한 경우 고려 , A는 또한 반대 방향으로 호를 포함합니다. 이 경우 호의 방향을 무시하고 방향이없는 것으로 간주 할 수 있습니다. 우리의 가장자리를 호출 E 검은 색 가장자리 와 가장자리 A는 가장자리를 빨간색 .

이 두 가지 제한 조건에서도 Max-2SAT를 줄임으로써 NP-complete 문제가 발생합니다. 하자 φ 에 2CNF 수식 될 N 개의 변수 과 m의 절. 다음 과 같이 3 개의 n 버텍스 v 1 , … , v n , x 1 , … , x n , ˉ x 1 , … , with x n 으로 그래프 G 를 생성합니다. G 는 2$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$N 블랙 가장자리 : 및 ( V I , ˉ X I ) 용 제가 1, ..., = N . G 는 5 ($(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$가장자리 레드. 먼저,i≠j에대해vi및vj를빨간색 모서리로 연결하십시오. 다음으로, 모든 고유 변수xi및xj에 대해 4 쌍의 리터럴(l,l')=(xi,xj),(xi, ˉ x j),( ˉ x i,x$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$ . if 절 ( ˉ l ∨ ˉ l ′ ) 이φ에나타나지 않으면리터럴 l 과 l ' 을 빨간색 가장자리로연결하십시오.$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

수축 후 붉은 가장자리의 수를 최소화하기 위해 검은 가장자리의 최대 일치 만 고려하면됩니다. 모든 최대 매칭 것이 분명 M 흑색 에지의 구성은 N 연결하는 에지 에 L I ∈ { X 나 , ˉ X I } 용 제가 1, ..., = N . 진리 할당 { l 1 , … , l n } 과이 최대 매칭 M 을 식별하십시오 . M 계약 후 확인하기 쉽다$v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$평행 모서리를 제거하면 그래프는 정확히 빨간색 모서리. 여기서k는이 진리 할당에 의해 충족되는 절 수입니다. 따라서 검은 색 가장자리에서 일치를 계약 한 후 빨간색 가장자리 수를 최소화하는 것은 만족하는 절 수를 최대화하는 것과 같습니다.$4\binom{n}{2}-k$