퀀텀에서 클래식 랜덤 워크로 전환

빠른 버전

결 어긋남의이 모델은 라인의 양자 산책 있습니까 우리는 조정 등의 확산에 산책 할 수 있도록 어떤을위한 1 / 2 ≤ K ≤ 1 ?$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

자극

고전적인 랜덤 워크는 알고리즘 설계에 유용하며, 양자 랜덤 워크는 다수의 멋진 양자 알고리즘을 만드는 데 유용한 것으로 입증되었습니다 (때때로 기하 급수적으로 가속하는 경우도 있음 ). 따라서 양자와 고전적인 랜덤 워크의 차이점을 이해하는 것이 중요합니다. 때로는 가장 쉬운 방법은 라인 위를 걷는 것과 같은 장난감 모델을 고려하는 것입니다.

물리학 동기도 있습니다 : 양자 역학이 어떻게 고전 역학으로 확장되는지를 아는 것은 흥미 롭습니다. 그러나 이것은 cstheory와 관련이 없습니다.

내 개인적인 동기는 완전히 직교합니다. 실험 데이터를 양자에서 고전으로 부드럽게 전환하고 비교적 직관적 인 모델과 일치 시키려고합니다.

배경

$\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$). 실제로이 스케일링은 양자 보행의 정의로 제안되었습니다.

질문의 긴 버전

$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

좋은 질문입니다. 실제로, 몇 개월 전에 내가 작업했던 것에서 같은 질문이 나타났습니다 ( arXiv : 1011.1217 ). 자연스런 종류의 분리는 처음에는 균형을 잡는 것처럼 보이지만 시간이 지남에 따라 확산되는 행동으로 이어 지므로 사이를 전환하는 것$t$$t^{\frac{1}{2}}$

이것은 분산이 로만 스케일링 을 시사하는 것처럼 보입니다.$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

그러나, 잡음이 도입 될 때 양자 계측에서 정확히 동일한 일이 발생하지만 중간 스케일링을 생성하기 위해 극복 될 수있다 (예를 들어, JA Jones et al, Science, 324, 5931 (2009), arXiv : 1103.1219 , arXiv : 1101.2561 참조 ). 기타.). 이것이 달성 될 수있는 한 가지 방법은 중간 측정을하는 것입니다.

$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$$n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$