비교할 수없는 그래프 # P- 완료에서 최대 클릭 수를 계산합니까?

이 질문은 Peng Zhang 의 MathOverflow 질문에 의해 동기가 부여됩니다 . Valiant는 일반 그래프에서 최대 클릭 수를 계산하는 것이 # P- 완료 되었음에도 불구하고 비교할 수없는 그래프로 제한하면 (즉, 유한 포즈에서 최대 안티 체인 수를 계산하려는 경우) 어떻게해야합니까? 이 질문은 자연스럽게 보였지만 이전에 고려 된 것으로 생각되지만 문헌에서 찾을 수 없었습니다.

— 티모시 차우
소스

"계산 컷의 복잡성과 그래프가 연결될 확률의 계산"(SIAM J. Comput. 12 (1983), 777-788 페이지)에 대한 이 초록 에 따르면 , 부분 순서로 안티 체인을 세는 것은 # P- 완료. 이 백서에 액세스 할 수 없으므로이 결과가 최대 안티 체인에 해당되는지 여부를 알 수 없습니다.

— 흠
소스

@ András : 그들의 결과는 안티 체인을 계산하는 것입니다 (반드시 최대가 아님). 최대 안티 체인을 계산하는 것도 # P- 완료됨을 쉽게 알 수 있지만 볼 수는 없습니다.

— 이토 쓰요시

@ András : 문제는 최대 카디널리티 안티 체인이 아니라 최대 안티 체인에 관한 것입니다. 나는 논문의 감소를 연구하지 않았으므로 아마도 그들의 감소는 동시에 최대 안티 체인을 세는 # P- 완전성을 입증하지만 적어도 다른 문제입니다.

— 이토 쓰요시

@Tsuyoshi : Provan / Ball 논문은 최대 카디널리티 안티 체인을 계산하는 것이 # P-hard라는 것만 보여줍니다. 드로잉 보드로 돌아 가기 ...

— András Salamon

실제로 증명을 보면 모든 최대 안티 체인이 동일한 카디널리티를 갖는 포즈의 클래스에 대해 # P- 완전성이 입증 된 것을 알 수 있습니다. 즉, 어떤이 분형 그래프 시작 가진 정점과 구조체 된 그래프 와 추가하여 정점 꼭지점 및 새로운 에지 . 경우, 및 의 정점의 집합이다 bipartition , 정의에 poset 설정하여 경우 및

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$ 및 와 는 인접 해 있습니다. 그래서 이것은 내 질문에 대답합니다.

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— 디모데 차우